ヘヴィサイドの階段関数の極限表示
ヘヴィサイドの階段関数の極限表示
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
(1)
\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}} \end{align*}(2)
\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\erf\left(kx\right)\right) \](3)
\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\tan^{\bullet}\left(kx\right)\right) \]-
\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数。(1)
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{e^{kx}-e^{-kx}}{e^{kx}+e^{-kx}}\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{e^{kx}}{e^{kx}+e^{-kx}}\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{1+e^{-2kx}}\right)\\ & =\begin{cases} 0 & x<0\\ \frac{1}{2} & x=0\\ 1 & 0<x \end{cases}\\ & =H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\erf\left(kx\right)\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{kx}e^{-x^{2}}dx\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\sgn\left(x\right)\right)\\ & =H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\tan^{\bullet}\left(kx\right)\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sgn\left(x\right)\right)\\ & =H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ヘヴィサイドの階段関数の極限表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yw6vmik7/ |
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ヘヴィサイドの階段関数と符号関数・絶対値
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(\pm x\right)=\frac{1\pm\sgn x}{2}
\]
ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz
\]
ヘヴィサイドの階段関数と絶対値・符号関数
\[
H_{a}\left(\left|c\right|x\right)=H_{a}\left(x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数と単位ステップ関数の関係
\[
H_{1}\left(x\right)=U\left(x\right)
\]