偏角の和と積の偏角
偏角の和と積の偏角
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\((a,a+2\pi],-2\pi\leq a<0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in(a/2,a/2+\pi]\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\([a,a+2\pi)\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)\leq\Arg\left(\beta\right)<a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(1)
偏角を\([a,a+2\pi),-2\pi<a\leq0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in[a/2,a/2+\pi)\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\((a,a+2\pi],-2\pi\leq a<0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in(a/2,a/2+\pi]\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(2)
偏角を\((a,a+2\pi]\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)<\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\([a,a+2\pi)\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)\leq\Arg\left(\beta\right)<a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(3)
偏角を\((-\pi,\pi]\)とすると\(0\leq\Arg\left(\alpha\right)\;\land\;\Arg\left(\beta\right)\leq0\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(1)
上側は\(a\leq\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)<a+2\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。同様に下側は\(a<\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\leq a+2\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。
(2)
\(a-\Arg\left(\alpha\right)<\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)より、\(a<\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。下側も同様に成り立つ。
(3)
\(-\pi\leq\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)<\pi\)となるので、\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。ページ情報
タイトル | 偏角の和と積の偏角 |
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絶対値の冪乗
\[
\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
冪乗の対数
\[
\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)
\]
複素共役の偏角と対数
\[
\Arg\overline{z}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z}
\]