ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係
\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ
\(\sgn\left(x\right)\)は符号関数
(1)
\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2} \](2)
\[ H_{a}\left(x\right)=\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x} \]-
\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ
\(\sgn\left(x\right)\)は符号関数
(1)
\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) & =\left(H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\\ & =\frac{\sgn\left(x\right)}{2}+\frac{1}{2}\\ & =\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2} \end{align*}(2)
\begin{align*} H_{a}\left(x\right) & =H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x}\\ & =\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ic9sw7tn/ |
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ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz
\]
ヘヴィサイドの階段関数とクロネッカーのデルタの関係
\[
H_{a}\left(n\right)-H_{b}\left(n-1\right)=a\delta_{0,n}+\left(1-b\right)\delta_{1,n}
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値の和と差
\[
H\left(\pm_{1}1\right)\pm_{2}H\left(\pm_{1}1\right)=H\left(\pm_{2}1\right)\pm_{1}H\left(\pm_{2}1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の負数・和・差
\[
H_{a}\left(-x\right)=-H_{a}\left(x\right)+1+\left(2a-1\right)\delta_{0,x}
\]