ヘヴィサイドの階段関数と符号関数・絶対値

ヘヴィサイドの階段関数と符号関数・絶対値

(1)

\[ H\left(x\right)=\frac{x+\left|x\right|}{2x}\cnd{x\ne0} \]

(2)

\[ H_{\frac{1}{2}}\left(\pm x\right)=\frac{1\pm\sgn x}{2} \]

(3)

\[ 1\pm1=2H\left(\pm1\right) \]

-

\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数

\(\sgn\left(x\right)\)は符号関数

(1)

\begin{align*} H\left(x\right) & =\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2}\\ & =\frac{\sgn\left(x\right)x+x}{2x}\\ & =\frac{\left|x\right|+x}{2x} \end{align*}

(2)

\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(\pm x\right) & =\frac{\sgn\left(\pm x\right)+1}{2}\\ & =\frac{1\pm\sgn\left(x\right)}{2} \end{align*}

(2)-2

\(x\ne0\)とする。

\begin{align*} H\left(\pm x\right) & =\frac{\left|\pm x\right|\pm x}{\pm2x}\\ & =\frac{\left|x\right|\pm x}{\pm2x}\\ & =\frac{\pm\left|x\right|+x}{2x}\\ & =\frac{1\pm\frac{\left|x\right|}{x}}{2}\\ & =\frac{1\pm\sgn x}{2} \end{align*}

\(x=0\)のとき右辺は\(\frac{1}{2}\)になるので、

\[ H_{\frac{1}{2}}\left(\pm x\right)=\frac{1\pm\sgn x}{2} \]

(3)

\begin{align*} 1\pm1 & =1+\sgn\left(\pm1\right)\\ & =1+2H\left(\pm1\right)-1\\ & =2H\left(\pm1\right) \end{align*}

(3)-2

\begin{align*} 1\pm1 & =1+\left\{ H\left(\pm1\right)-H\left(\mp1\right)\right\} \\ & =H\left(\pm1\right)+1-H\left(\mp1\right)\\ & =H\left(\pm1\right)+H\left(\pm1\right)\\ & =2H\left(\pm1\right) \end{align*}

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ヘヴィサイドの階段関数と符号関数・絶対値

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