ヘヴィサイドの階段関数と絶対値・符号関数
ヘヴィサイドの階段関数と絶対値・符号関数
(1)
\(c\ne0\)とする。
\[ H_{a}\left(\left|c\right|x\right)=H_{a}\left(x\right) \]
(2)
\[ H_{a}\left(x\right)=H_{a}\left(\sgn x\right) \]
-
\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数、\(\sgn\left(x\right)\)は符号関数。
(1)
\begin{align*} H_{a}\left(\left|c\right|x\right) & =\begin{cases} 0 & \left|c\right|x<0\\ a & \left|c\right|x=0\\ 1 & 0<\left|c\right|x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 0 & x<0\\ a & x=0\\ 1 & 0<x \end{cases}\\ & =H_{a}\left(x\right) \end{align*}
(2)
\begin{align*} H_{a}\left(x\right) & =H_{a}\left(\left|x\right|\sgn x\right)\\ & =\begin{cases} H_{a}\left(\sgn x\right) & x=0\\ H_{a}\left(\sgn x\right) & x\ne0 \end{cases}\\ & =H_{a}\left(\sgn x\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | ヘヴィサイドの階段関数と絶対値・符号関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/e6zxgcsh/ |
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ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の積
\[
\sgn\left(x\right)H_{a}\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の負数・和・差
\[
H_{a}\left(-x\right)=-H_{a}\left(x\right)+1+\left(2a-1\right)\delta_{0,x}
\]
mzp関数の定義と負数の関係
\[
\mzp_{a,b}\left(x_{1},x_{2};-x\right)=-\mzp_{-b,-a}\left(-x_{2},-x_{1};x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz
\]