(*)平方剰余の相互法則と補充法則
\(a,b\)を整数、\(p,q\)を奇素数とする。
(1)平方剰余の相互法則
\[ QR(p,q)QR(q,p)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} \]
(2)第1補充法則
\[ QR(-1,p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} \]
(3)第2補充法則
\begin{align*} QR(2,p) & =(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} \end{align*}
(4)積
\[ QR(ab,p)=QR(a,p)QR(b,p) \]
(1)
略
(2)
オイラーの規準より、
\[ QR(-1,p)\overset{p}{\equiv}(-1)^{\frac{p-1}{2}} \]
となる。右辺は1または-1なので、
\[
QR(-1,p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}
\]
となり、与式は成り立つ。
(3)
\begin{align*} \left(x+x^{-1}\right)^{p} & =\sum_{k=0}^{p}C(p,k)x^{k}x^{-(p-k)}\\ & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)x^{k}x^{-(p-k)}+\sum_{k=\frac{p+1}{2}}^{p}C(p,k)x^{k}x^{-(p-k)}\\ & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)x^{k}x^{-(p-k)}+\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{x}}C(p,p-k)x^{p-k}x^{-k}\\ & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)\left(x^{-(p-2k)}+x^{p-2k}\right) \end{align*}
ここで、\(\omega_{8}=e^{\frac{2\pi i}{8}}\)とおくと、
\begin{align*} \omega_{8}^{\;n}+\omega_{8}^{\;-n} & =\begin{cases} \sqrt{2} & n\overset{8}{\equiv}\pm1\\ -\sqrt{2} & n\overset{8}{\equiv}\pm3 \end{cases}\\ & =(-1)^{\frac{n^{2}-1}{8}}\sqrt{2} \end{align*}
となるので、\(x\)に\(\omega_{8}\)を代入すると、
\begin{align*} l.h.s & =\left(\omega_{8}+\omega_{8}^{\;-1}\right)^{p}\\ & =2^{\frac{p}{2}} \end{align*}
\begin{align*} r.h.s & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)\left(\omega_{8}^{-(p-2k)}+\omega_{8}^{p-2k}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)\left((-1)^{\frac{(p-2k)^{2}-1}{8}}\sqrt{2}\right) \end{align*}
より、
\begin{align*} 2^{\frac{p-1}{2}} & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)\left((-1)^{\frac{(p-2k)^{2}-1}{8}}\right)\\ & \overset{p}{\equiv}(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} \end{align*}
オイラーの規準より、
\begin{align*}
QR(2,p) & \overset{p}{\equiv}2^{\frac{p-1}{2}}\\
& \overset{p}{\equiv}(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}}
\end{align*}
なり右辺は1または-1なので、
\[
QR(2,p)=(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}}
\]
(4)
\begin{align*} QR(ab,p) & \overset{p}{\equiv}\left(ab\right)^{\frac{p-1}{2}}\\ & =a^{\frac{p-1}{2}}b^{\frac{p-1}{2}}\\ & =QR(a,p)QR(b,p) \end{align*}
両辺ともに\(\pm1\)なので
\[
QR(ab,p)=QR(a,p)QR(b,p)
\]
ページ情報
タイトル | (*)平方剰余の相互法則と補充法則 |
URL | https://www.nomuramath.com/xgwcqk8i/ |
SNSボタン |