(1)

略

(2)

オイラーの規準より、

\[ QR(-1,p)\overset{p}{\equiv}(-1)^{\frac{p-1}{2}} \]

となる。右辺は1または-1なので、
\[ QR(-1,p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} \]

となり、与式は成り立つ。

(3)

\begin{align*} \left(x+x^{-1}\right)^{p} & =\sum_{k=0}^{p}C(p,k)x^{k}x^{-(p-k)}\\ & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)x^{k}x^{-(p-k)}+\sum_{k=\frac{p+1}{2}}^{p}C(p,k)x^{k}x^{-(p-k)}\\ & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)x^{k}x^{-(p-k)}+\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{x}}C(p,p-k)x^{p-k}x^{-k}\\ & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)\left(x^{-(p-2k)}+x^{p-2k}\right) \end{align*}

ここで、\(\omega_{8}=e^{\frac{2\pi i}{8}}\)とおくと、

\begin{align*} \omega_{8}^{\;n}+\omega_{8}^{\;-n} & =\begin{cases} \sqrt{2} & n\overset{8}{\equiv}\pm1\\ -\sqrt{2} & n\overset{8}{\equiv}\pm3 \end{cases}\\ & =(-1)^{\frac{n^{2}-1}{8}}\sqrt{2} \end{align*}

となるので、\(x\)に\(\omega_{8}\)を代入すると、

\begin{align*} l.h.s & =\left(\omega_{8}+\omega_{8}^{\;-1}\right)^{p}\\ & =2^{\frac{p}{2}} \end{align*}

\begin{align*} r.h.s & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)\left(\omega_{8}^{-(p-2k)}+\omega_{8}^{p-2k}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)\left((-1)^{\frac{(p-2k)^{2}-1}{8}}\sqrt{2}\right) \end{align*}

より、

\begin{align*} 2^{\frac{p-1}{2}} & =\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)\left((-1)^{\frac{(p-2k)^{2}-1}{8}}\right)\\ & \overset{p}{\equiv}(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} \end{align*}

オイラーの規準より、
\begin{align*} QR(2,p) & \overset{p}{\equiv}2^{\frac{p-1}{2}}\\ & \overset{p}{\equiv}(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} \end{align*}

なり右辺は1または-1なので、
\[ QR(2,p)=(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} \]

(4)

\begin{align*} QR(ab,p) & \overset{p}{\equiv}\left(ab\right)^{\frac{p-1}{2}}\\ & =a^{\frac{p-1}{2}}b^{\frac{p-1}{2}}\\ & =QR(a,p)QR(b,p) \end{align*}

両辺ともに\(\pm1\)なので
\[ QR(ab,p)=QR(a,p)QR(b,p) \]