ウォリス積分の同表示
ウォリス積分は以下の値に等しい
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta \]
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)d\theta\\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}tdt\qquad,\qquad t=-\theta+\frac{\pi}{2} \end{align*}
ページ情報
タイトル | ウォリス積分の同表示 |
URL | https://www.nomuramath.com/vyufzw14/ |
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- 2重根号\[ \sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right) \]
- リーマンゼータ関数の関数等式\[ \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s) \]
- 対数の基本公式\[ \log M+\log N=\log MN \]
- ウォリス積分の値\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2} \]