正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
\[\tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z}\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}\]
三角関数・双曲線関数の一次結合の逆数の積分
\[ \int\frac{1}{\alpha\sin z+\beta\cos z+\gamma}dz=-\frac{2}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}\tanh^{\bullet}\frac{\left(\gamma-\beta\right)\tan\frac{z}{2}+\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}+C \]
3角関数(双曲線関数)の逆3角関数(逆双曲線関数)が恒等写像になる条件
\[\sin^{\bullet}\sin z=?z\]
ヘヴィサイドの階段関数の問題
\[f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)g\left(-H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)g\left(H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left\{ f\left(0\right)g\left(0\right)+f\left(\pm1\right)g\left(\mp1\right)\right\} H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left\{ f\left(0\right)g\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)g\left(\mp_{1}1\right)\right\} H\left(\mp_{2}1\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値を引数に持つ関数の和と差
\[f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left(f\left(0\right)+f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left(f\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\mp_{2}1\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値の和と差
\[H\left(\pm_{1}1\right)\pm_{2}H\left(\pm_{1}1\right)=H\left(\pm_{2}1\right)\pm_{1}H\left(\pm_{2}1\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値と関数
\[f\left(x\right)H\left(\pm1\right)=f\left(\pm x\right)H\left(\pm1\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値と複号
\[H\left(\pm1\right)=\frac{1\pm1}{2}\]
最大値・最小値と絶対値の関係
\[\min\left(-x,x\right)=-\left|x\right|\]
符号関数と絶対値
\[\sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\sgn\beta\cnd{\alpha\ne0}\]
極限が符号関数になる関数
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\tanh\left(kx\right)=\sgn\left(x\right)\]
符号関数の微分と積分
\[\frac{d\sgn\left(x\right)}{dx}=2\delta\left(x\right)\]
符号関数の符号関数
\[\sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)\]
符号関数とクロネッカーのデルタの関係(逆クロネッカーのデルタ)
\[\left|\sgn\alpha\right|=1-\delta_{0,\alpha}\]
冪乗の符号関数
\[\sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)\]
積の符号関数
\[\sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right)\]
符号関数の定義
\[\sgn\left(z\right)=\begin{cases}\frac{z}{\left|z\right|} & z\ne0\\0 & z=0\end{cases}\]
剰余の剰余
\[\mod\left(\mod\left(\alpha,n\beta\right),\beta\right)=\mod\left(\alpha,\beta\right)\]
整数を含む床関数と天井関数
\[\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil =n\]
天井関数と床関数の和と差
\[\left\lceil z\right\rceil -\left\lfloor z\right\rfloor =\sgn\mod\left(\Re z,1\right)+i\sgn\mod\left(\Im z,1\right)\]
剰余演算の実部と虚部
\[\mod\left(\alpha,\beta\right)=\Re\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)-\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+i\left\{ \Re\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)\right\} \]
実数の複素数と複素共役の剰余演算
\[\mod\left(1,\overline{\alpha}\right)=\overline{\mod\left(1,\alpha\right)}+i\overline{\alpha}\left|\sgn\mod\left(\Im\alpha,\left|\alpha\right|^{2}\right)\right|\]
複素数と複素共役の実数での剰余演算
\[\mod\left(\alpha,1\right)=\mod\left(\Re\alpha,1\right)+i\mod\left(\Im\alpha,1\right)\]
床関数と天井関数の性質
\[\left\lceil z\right\rceil =-\left\lfloor -z\right\rfloor \]
床関数と天井関数の別表記
\[\left\lfloor z\right\rfloor =z-\mod\left(z,1\right)\]
床関数と天井関数の定義
\[\left\lfloor x\right\rfloor =\max\left\{ n\in\mathbb{Z};n\leq x\right\} \]
偏角と剰余の関係
\[\Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,\pi\right)\]
剰余演算の定数倍
\[\frac{1}{\delta}\mod\left(\alpha,\beta,\gamma\right)=\mod\left(\frac{\alpha}{\delta},\frac{\beta}{\delta},\frac{\gamma}{\delta}\right)\]
剰余演算と床関数・天井関数の関係
\[\alpha=\beta\left\lfloor \frac{\alpha-\gamma}{\beta}\right\rfloor +\mod\left(\alpha,\beta,\gamma\right)\]