三角関数(双曲線関数)の逆三角関数(逆双曲線関数)が恒等写像になる条件

三角関数の逆三角関数が恒等写像になる条件

(1)

\[ \sin^{\circ}\sin z=z\;\Leftrightarrow\;-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Im z\;\lor\;\Re z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z\leq0 \]

(2)

\[ \cos^{\circ}\cos z=z\;\Leftrightarrow\;0<\Re z<\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\;\lor\;\Re z=\pi\;\land\;\Im z\leq0 \]

(3)

\[ \tan^{\circ}\tan z=z\;\Leftrightarrow\;-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\;\lor\Re z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z<0\;\lor\Re z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z>0 \]

(4)

\[ \sin^{-1,\circ}\sin^{-1}z=z\;\Leftrightarrow\;z\ne0\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Im z\;\lor\;\Re z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z\leq0 \]

(5)

\[ \cos^{-1,\circ}\cos^{-1}z=z\;\Leftrightarrow\;z\ne\frac{\pi}{2}\;\land\;0<\Re z<\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\;\lor\;\Re z=\pi\;\land\;\Im z\leq0 \]

(6)

\[ \tan^{-1,\circ}\tan^{-1}z=z\;\Leftrightarrow\;z\ne0\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\;\lor\Re z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z<0\;\lor\Re z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z>0 \]

(1)

\begin{align*} \sin^{\circ}\sin z & =-i\Log\left(i\sin z+\sqrt{1-\sin^{2}z}\right)\\ & =-i\Log\left(i\sin z+\sqrt{\cos^{2}z}\right)\\ & =-i\Log\left(i\sin z+\sqrt{\sgn^{2}\left(\cos z\right)}\left|\cos z\right|\right)\\ & =-i\Log\left(i\sin z\pm\sgn\left(\cos z\right)\left|\cos z\right|\right)\\ & =-i\Log\left(i\sin z\pm\cos z\right)\\ & =-i\Log\pm e^{\pm iz}\\ & =-i\Log e^{i\frac{1\mp1}{2}\pi}e^{\mp\Im z\pm i\Re z}\\ & =-i\Log e^{\mp\Im z}e^{i\left(\frac{1\mp1}{2}\pi\pm\Re z\right)}\\ & =-i\left\{ \mp\Im z+i\mod\left(\frac{1\mp1}{2}\pi\pm\Re z,-2\pi,\pi\right)\right\} \\ & =\mod\left(\frac{1\mp1}{2}\pi\pm\Re z,-2\pi,\pi\right)+i\Im z \end{align*}

となるので\(\sqrt{\sgn^{2}\left(\cos z\right)}=\sgn\left(\cos z\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\)のとき恒等写像になる。

\begin{align*} & \sqrt{\sgn^{2}\left(\cos z\right)}=\sgn\left(\cos z\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(-\frac{\pi}{2}<\Arg\cos z\leq\frac{\pi}{2}\;\lor\;\cos z=0\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(-\frac{\pi}{2}<\Arg\cos z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Arg\cos z=\frac{\pi}{2}\;\lor\;\cos z=0\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re\cos z\;\lor\;\Re\cos z=0\;\land\;0<\Im\cos z\;\lor\;\cos z=0\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re\cos z\;\lor\;\Re\cos z=0\;\land\;0\leq\Im\cos z\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\cos\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)\;\lor\;\cos\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)=0\;\land\;0\leq-\sin\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\cos\left(\Re z\right)\;\lor\;\cos\left(\Re z\right)=0\;\land\;\sin\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)\leq0\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & -\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Im z\;\lor\;\Re z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z\leq0 \end{align*}

これより題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \cos^{\circ}\cos z & =-i\Log\left(\cos z+i\sqrt{1-\cos^{2}z}\right)\\ & =-i\Log\left(\cos z+i\sqrt{\sin^{2}z}\right)\\ & =-i\Log\left(\cos z+i\sqrt{\sgn^{2}\left(\sin z\right)}\left|\sin z\right|\right)\\ & =-i\Log\left(\cos z\pm i\sgn\left(\sin z\right)\left|\sin z\right|\right)\\ & =-i\Log\left(\cos z\pm i\sin z\right)\\ & =-i\Log e^{\pm iz}\\ & =-i\Log e^{\mp\Im z\pm i\Re z}\\ & =-i\left\{ \mp\Im z+i\mod\left(\pm\Re z,-2\pi,\pi\right)\right\} \\ & =\mod\left(\pm\Re z,-2\pi,\pi\right)\pm i\Im z \end{align*}

となるので\(\sqrt{\sgn^{2}\left(\sin z\right)}=\sgn\left(\sin z\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\)のとき恒等写像になる。

\begin{align*} & \sqrt{\sgn^{2}\left(\sin z\right)}=\sgn\left(\sin z\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(-\frac{\pi}{2}<\Arg\sin z\leq\frac{\pi}{2}\;\lor\;\sin z=0\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(-\frac{\pi}{2}<\Arg\sin z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Arg\sin z=\frac{\pi}{2}\;\lor\;\sin z=0\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re\sin z\;\lor\;\Re\sin z=0\;\land\;0<\Im\sin z\;\lor\;\sin z=0\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re\sin z\;\lor\;\Re\sin z=0\;\land\;0\leq\Im\sin z\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\sin\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)\;\lor\;\sin\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)=0\;\land\;0\leq\Im\cos\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\sin\left(\Re z\right)\;\lor\;\sin\left(\Re z\right)=0\;\land\;0\leq\Im\cos\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)\right)\;\land\;-\pi<\Re z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & 0<\Re z<\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\;\lor\;\Re z=\pi\;\land\;\Im z\leq0 \end{align*}

これより題意は成り立つ。

(3)

\begin{align*} \tan^{\circ}\tan z & =\frac{1}{2}i\left\{ \Log\left(1-i\tan z\right)-\Log\left(1+i\tan z\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}i\left\{ \ln\left|1-i\tan z\right|+i\Arg\left(1-i\tan z\right)-\ln\left|1+i\tan z\right|-i\Arg\left(1+i\tan z\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}i\left\{ \ln\left|\frac{1-i\tan z}{1+i\tan z}\right|+i\left(\Arg\left(1-i\tan z\right)-\Arg\left(1+i\tan z\right)\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}i\left\{ \ln\left|\frac{1-i\tan z}{1+i\tan z}\right|+i\left(\Arg\left(\frac{1-i\tan z}{1+i\tan z}\right)+2\pi H_{0}\left(\Arg\left(1-i\tan z\right)+\Arg\left(1+i\tan z\right)^{-1}-\pi\right)-2\pi H_{1}\left(-\pi-\Arg\left(1-i\tan z\right)-\Arg\left(1+i\tan z\right)^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(1+i\tan z\right)}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}i\left\{ \ln\left|e^{-2iz}\right|+i\left(\Arg\left(e^{-2iz}\right)+2\pi H_{0}\left(\Arg\left(1-i\tan z\right)+\Arg\left(1-i\tan\overline{z}\right)-\pi\right)-2\pi H_{1}\left(-\pi-\Arg\left(1-i\tan z\right)-\Arg\left(1-i\tan\overline{z}\right)\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(1+i\tan z\right)}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}i\left\{ \ln\left|e^{-2i\Re z}e^{2\Im z}\right|+i\left(\Arg\left(e^{-2i\Re z}e^{2\Im z}\right)+2\pi H_{0}\left(\Arg\left(e^{2\Im z}+e^{-2i\Re z}\right)+\Arg\left(e^{-2\Im z}+e^{-2i\Re z}\right)-\pi\right)-2\pi H_{1}\left(-\pi-\Arg\left(e^{2\Im z}+e^{-2i\Re z}\right)-\Arg\left(e^{-2\Im z}+e^{-2i\Re z}\right)\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{-2\Im z}+e^{2i\Re z}\right)\right)}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}i\left\{ \ln e^{2\Im z}+i\left(\Arg\left(e^{-2i\Re z}\right)-2\pi T\left(\Re z\in\pi\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right)\;\land\;\Im z>0\right)\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}i\left\{ 2\Im z+i\left(\mod\left(-2\Re z,-2\pi,\pi\right)-2\pi T\left(\Re z\in\pi\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right)\;\land\;\Im z>0\right)\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}i\left\{ 2\Im z+i\left(-2\mod\left(\Re z,\pi,-\frac{\pi}{2}\right)-2\pi T\left(\Re z\in\pi\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right)\right)T\left(\Im z>0\right)\right)\right\} \\ & =\mod\left(\Re z,\pi,-\frac{\pi}{2}\right)+\pi T\left(\Re z\in\pi\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right)\right)T\left(\Im z>0\right)+i\Im z \end{align*}

これより、\(\tan z\)は\(z=\pm\frac{\pi}{2}\)のとき定義できないので、\(-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\;\lor\Re z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z<0\;\lor\Re z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z>0\)のとき恒等写像になる。

(4)

\begin{align*} \sin^{-1,\circ}\sin^{-1}z & =\sin^{\circ}\frac{1}{\sin^{-1}z}\\ & =\sin^{\circ}\sin z \end{align*}

となるので、\(\sin^{\circ}\sin z\)が恒等写像になる領域と同じになるが、\(\sin^{-1}z\)が定義できない領域を除くと、

\[ z\ne0\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Im z\;\lor\;\Re z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z\leq0 \]

となる。

(5)

\begin{align*} \cos^{-1,\circ}\cos^{-1}z & =\cos^{\circ}\frac{1}{\cos^{-1}z}\\ & =\cos^{\circ}\cos z \end{align*}

となるので、\(\cos^{\circ}\cos z\)が恒等写像になる領域と同じになるが、\(\cos^{-1}z\)が定義できない領域を除くと、

\[ z\ne\frac{\pi}{2}\;\land\;0<\Re z<\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\;\lor\;\Re z=\pi\;\land\;\Im z\leq0 \]

となる。

(6)

\begin{align*} \tan^{-1,\circ}\tan^{-1}z & =\tan^{\circ}\frac{1}{\tan^{-1}z}\\ & =\tan^{\circ}\tan z \end{align*}

となるので、\(\tan^{\circ}\tan z\)が恒等写像になる領域と同じになるが、\(\tan^{-1}z\)が定義できない領域を除くと、

\[ z\ne0\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\;\lor\Re z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z<0\;\lor\Re z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im z>0 \]

となる。

双曲線関数の逆双曲線関数が恒等写像になる条件

(1)

\[ \sinh^{\circ}\sinh z=z\;\Leftrightarrow\;-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z\leq0\;\lor\;\Im z=\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Re z \]

(2)

\[ \cosh^{\circ}\cosh z=z\;\Leftrightarrow\;0<\Re z\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\leq\pi \]

(3)

\[ \tanh^{\circ}\tanh z=z\;\Leftrightarrow\;-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\Im z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z<0\;\lor\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z>0 \]

(4)

\[ \sinh^{-1,\circ}\sinh^{-1}z=z\;\Leftrightarrow\;z\ne0\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z\leq0\;\lor\;\Im z=\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Re z \]

(5)

\[ \cosh^{-1,\circ}\cosh^{-1}z=z\;\Leftrightarrow\;z\ne\frac{\pi}{2}\;\land\;0<\Re z\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\leq\pi \]

(6)

\[ \tanh^{-1,\circ}\tanh^{-1}z=z\;\Leftrightarrow\;z\ne0\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\Im z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z<0\;\lor\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z>0 \]

(1)

\begin{align*} \sinh^{\circ}\sinh z & =\sinh^{\circ}\left(-ii\sinh z\right)\\ & =\sinh^{\circ}\left(-i\sin\left(iz\right)\right)\\ & =i\sin^{\circ}\left(-\sin\left(iz\right)\right)\\ & =-i\sin^{\circ}\left(\sin\left(iz\right)\right) \end{align*}

これより\(\sin^{\circ}\left(\sin\left(iz\right)\right)=iz\)となるとき、恒等写像となるので、\(-\frac{\pi}{2}<\Re\left(iz\right)<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re\left(iz\right)=-\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Im\left(iz\right)\;\lor\;\Re\left(iz\right)=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im\left(iz\right)\leq0\)すなわち、\(-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z\leq0\;\lor\;\Im z=\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Re z\)となる。

(2)

\begin{align*} \cosh^{\circ}\cosh z & =\Log\left(\cosh z+\sqrt{\cosh z-1}\sqrt{\cosh z+1}\right)\\ & =\Log\left(\cosh z\pm_{1}\sqrt{\cosh^{2}z-1}\right)\\ & =\Log\left(\cosh z\pm_{1}\sqrt{\sinh^{2}z}\right)\\ & =\Log\left(\cosh z\pm_{1}\pm_{2}\sinh z\right)\\ & =\Log e^{\pm_{1}\pm_{2}z}\\ & =\pm_{1}\pm_{2}\Re z+i\left(\mod\left(\pm_{1}\pm_{2}\Im z,-2\pi,\pi\right)\right) \end{align*}

これより恒等写像になるのは

\[ \sqrt{\cosh z-1}\sqrt{\cosh z+1}=\sqrt{\cosh^{2}z-1}\;\land\;\sqrt{\sinh^{2}z}=\sinh z\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi \]

または

\[ \sqrt{\cosh z-1}\sqrt{\cosh z+1}=-\sqrt{\cosh^{2}z-1}\;\land\;\sqrt{\sinh^{2}z}=-\sinh z\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi \]

となる。

\begin{align*} & \sqrt{\cosh z-1}\sqrt{\cosh z+1}=\sqrt{\cosh^{2}z-1}\;\land\;\sqrt{\sinh^{2}z}=\sinh z\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(-\frac{\pi}{2}<\Arg\cosh z\leq\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Arg\cosh z=\pi\;\land\;-1\leq\cosh z\;\lor\;\cosh z=0\right)\;\land\;\left(-\frac{\pi}{2}<\Arg\sinh z\leq\frac{\pi}{2}\;\lor\;\sinh z=0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(-\frac{\pi}{2}<\Arg\cosh z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Arg\cosh z=\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Arg\cosh z=\pi\;\land\;-1\leq\cosh z\;\lor\;\cosh z=0\right)\;\land\;\left(-\frac{\pi}{2}<\Arg\sinh z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Arg\sinh z=\frac{\pi}{2}\;\lor\;\sinh z=0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re\cosh z\;\lor\;\Re\cosh z=0\;\land\;0<\Im\cosh z\;\lor\;\Re\cosh z<0\;\land\;\Im\cosh z=0\;\land\;-1\leq\cosh z<0\;\lor\;\cosh z=0\right)\;\land\;\left(0<\Re\sinh z\;\lor\;\Re\sinh z=0\;\land\;0<\Im\sinh z\;\lor\;\sinh z=0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re\cosh z\;\lor\;\Re\cosh z=0\;\land\;0\leq\Im\cosh z\;\lor\;\Im\cosh z=0\;\land\;-1\leq\cosh z<0\right)\;\land\;\left(0<\Re\sinh z\;\lor\;\Re\sinh z=0\;\land\;0\leq\Im\sinh z\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\cos\left(\Im z\right)\;\lor\;\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;0\leq\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)=0\;\land\;-\cosh^{-1}\left(\Re z\right)\leq\cos\left(\Im z\right)<0\right)\;\land\;\left(0<\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;0\leq\sin\left(\Im z\right)\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\cos\left(\Im z\right)\;\land\;0<\sinh\left(\Re z\right)\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)=0\;\land\;0\leq\sin\left(\Im z\right)\;\lor\;\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;0\leq\sin\left(\Im z\right)\;\land\;0\leq\sinh\left(\Re z\right)\;\lor\;\sin\left(\Im z\right)=0\;\land\;-\cosh^{-1}\left(\Re z\right)\leq\cos\left(\Im z\right)<0\;\land\;0<\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)=0\;\land\;-\cosh^{-1}\left(\Re z\right)\leq\cos\left(\Im z\right)<0\;\land\;0\leq\sin\left(\Im z\right)\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re z\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\leq\pi\;\lor\;0\leq\Re z\;\land\;\Im z=\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re z=0\;\land\;\frac{\pi}{2}<\Im z\leq\pi\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re z\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Im z\leq\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\leq\pi\right) \end{align*}

\begin{align*} & \sqrt{\cosh z-1}\sqrt{\cosh z+1}=-\sqrt{\cosh^{2}z-1}\;\land\;\sqrt{\sinh^{2}z}=-\sinh z\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(\Arg\cosh z\leq-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\frac{\pi}{2}<\Arg\cosh z<\pi\;\lor\;\Arg\cosh z=\pi\;\land\;\cosh z\leq-1\right)\;\land\;\left(\Arg\sinh z\leq-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\frac{\pi}{2}<\Arg\sinh z\;\lor\;\sinh z=0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(\Arg\cosh z<-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\frac{\pi}{2}<\Arg\cosh z<\pi\;\lor\;\Arg\cosh z=-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Arg\cosh z=\pi\;\land\;\cosh z\leq-1\right)\;\land\;\left(\Arg\sinh z<-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\frac{\pi}{2}<\Arg\sinh z\;\lor\;\Arg\sinh z=-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\sinh z=0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(\Re\cosh z<0\;\land\;\Im\cosh z\ne0\lor\;\Re\cosh z=0\;\land\;\Im\cosh z<0\;\lor\;\Re\cosh z<0\;\land\;\Im\cosh z=0\;\land\;\cosh z\leq-1\right)\;\land\;\left(\Re\sinh z<0\;\lor\;\Re\sinh z=0\;\land\;\Im\sinh z\leq0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(\cosh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)<0\;\land\;\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)\ne0\lor\;\cosh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)<0\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)=0\;\land\;\cosh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)\leq-1\right)\;\land\;\left(\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)<0\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;\cosh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)\leq0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(\cos\left(\Im z\right)<0\;\land\;\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)\ne0\lor\;\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)<0\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)=0\;\land\;\cosh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)\leq-1\right)\;\land\;\left(\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)<0\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;\sin\left(\Im z\right)\leq0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(\cos\left(\Im z\right)<0\;\land\;\sin\left(\Im z\right)\ne0\;\land\;0<\sinh\left(\Re z\right)\;\lor\;\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;\sinh\left(\Re z\right)\sin\left(\Im z\right)<0\;\land\;\sin\left(\Im z\right)<0\;\lor\;\sin\left(\Im z\right)=0\;\land\;\cos\left(\Im z\right)\leq-\cosh^{-1}\left(\Re z\right)\;\land\;\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)<0\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)=0\;\land\;\cos\left(\Im z\right)\leq-\cosh^{-1}\left(\Re z\right)\;\land\;\sin\left(\Im z\right)\leq0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(\cos\left(\Im z\right)<0\;\land\;\sin\left(\Im z\right)\ne0\;\land\;0<\sinh\left(\Re z\right)\;\lor\;\cos\left(\Im z\right)=0\;\land\;0<\sinh\left(\Re z\right)\;\land\;\sin\left(\Im z\right)<0\;\lor\;\sin\left(\Im z\right)=0\;\land\;\cos\left(\Im z\right)\leq-\cosh^{-1}\left(\Re z\right)\;\land\;\sinh\left(\Re z\right)\cos\left(\Im z\right)<0\;\lor\;\sinh\left(\Re z\right)=0\;\land\;\cos\left(\Im z\right)=-1\;\land\;\sin\left(\Im z\right)=0\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re z\;\land\;\left(\Im z<-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\frac{\pi}{2}<\Im z\right)\;\lor\;0<\Re z\;\land\;\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\lor\;0<\Re z\;\land\;\Im z=\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;\Im z=\pi\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & 0<\Re z\;\land\;\left(-\pi<\Im z\leq-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\frac{\pi}{2}<\Im z\leq\pi\right)\;\lor\;\Re z=0\;\land\;\Im z=\pi \end{align*}

これより、

\begin{align*} & \left(\sqrt{\cosh z-1}\sqrt{\cosh z+1}=\sqrt{\cosh^{2}z-1}\;\land\;\sqrt{\sinh^{2}z}=\sinh z\;\lor\;\sqrt{\cosh z-1}\sqrt{\cosh z+1}=-\sqrt{\cosh^{2}z-1}\;\land\;\sqrt{\sinh^{2}z}=-\sinh z\right)\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re z\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Im z\leq\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\leq\pi\right)\;\lor\;\left(0<\Re z\;\land\;\left(-\pi<\Im z\leq-\frac{\pi}{2}\;\lor\;\frac{\pi}{2}<\Im z\leq\pi\right)\;\lor\;\Re z=0\;\land\;\Im z=\pi\right)\\ \Leftrightarrow & 0<\Re z\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\leq\pi \end{align*}

のとき恒等写像になる。

(3)

\begin{align*} \tanh^{\circ}\tanh z & =\tanh^{\circ}\left(-ii\tanh z\right)\\ & =\tanh^{\circ}\left(-i\tanh\left(iz\right)\right)\\ & =i\tanh^{\circ}\left(-\tanh\left(iz\right)\right)\\ & =-i\tanh^{\circ}\left(\tanh\left(iz\right)\right) \end{align*}

これより\(\tanh^{\circ}\left(\tanh\left(iz\right)\right)=iz\)となるとき、恒等写像となるので、\(-\frac{\pi}{2}<\Re\left(iz\right)<\frac{\pi}{2}\;\lor\Re\left(iz\right)=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im\left(iz\right)<0\;\lor\Re\left(iz\right)=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Im\left(iz\right)>0\)すなわち、\(-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\Im z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z<0\;\lor\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z>0\)となる。

(4)

\begin{align*} \sinh^{-1,\circ}\sinh^{-1}z & =\sinh^{\circ}\frac{1}{\sinh^{-1}z}\\ & =\sinh^{\circ}\sinh z \end{align*}

となるので、\(\sinh^{\circ}\sinh z\)が恒等写像になる領域と同じになるが、\(\sinh^{-1}z\)が定義できない領域を除くと、

\[ z\ne0\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\;\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z\leq0\;\lor\;\Im z=\frac{\pi}{2}\;\land\;0\leq\Re z \]

となる。

(5)

\begin{align*} \cosh^{-1,\circ}\cosh^{-1}z & =\cosh^{\circ}\frac{1}{\cosh^{-1}z}\\ & =\cosh^{\circ}\cosh z \end{align*}

となるので、\(\cosh^{\circ}\cosh z\)が恒等写像になる領域と同じになるが、\(\cosh^{-1}z\)が定義できない領域を除くと、

\[ z\ne\frac{\pi}{2}\;\land\;0<\Re z\;\land\;-\pi<\Im z\leq\pi\;\lor\;\Re z=0\;\land\;0\leq\Im z\leq\pi \]

となる。

(6)

\begin{align*} \tanh^{-1,\circ}\tanh^{-1}z & =\tanh^{\circ}\frac{1}{\tanh^{-1}z}\\ & =\tanh^{\circ}\tanh z \end{align*}

となるので、\(\tanh^{\circ}\tanh z\)が恒等写像になる領域と同じになるが、\(\tanh^{-1}z\)が定義できない領域を除くと、

\[ z\ne0\;\land\;-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\;\lor\Im z=\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z<0\;\lor\Im z=-\frac{\pi}{2}\;\land\;\Re z>0 \]

となる。

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タイトル

三角関数(双曲線関数)の逆三角関数(逆双曲線関数)が恒等写像になる条件

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https://www.nomuramath.com/qcukg31q/

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