2項係数が0になるとき
\[\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0\]
2項係数を含む総和
\[\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}\]
中央2項係数の値
\[C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)\]
ガンマ関数の非正整数近傍での値
\[\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)\]
階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)\]
負の整数の2項係数
\[C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right)\]
負の整数の階乗の商
\[\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}\]
余弦積分の極限
\[\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Ci\left(\alpha x\right)-\Ci\left(x\right)\right\} =\begin{cases}\Log\alpha & x\rightarrow+0\\\Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0\end{cases}\]
指数積分・正弦積分・余弦積分の定義
\[\Si\left(x\right):=\int_{0}^{x}\frac{\sin x}{x}dx\]
パスカルの法則の一般形
\[C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right)\]
パスカルの法則の応用
\[C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right)\]
カントールの対関数の逆関数
\[\begin{cases}m=\frac{t^{2}+3t}{2}-\pi\\n=\pi-\frac{t^{2}+t}{2}\end{cases}\]
カントールの対関数の性質
\[\pi\left(m+1,n\right)=\pi\left(m,n\right)+m+n+1\]
カントールの対関数の漸化式
\[\pi\left(m,n\right)+1=\begin{cases}\pi\left(m-1,n+1\right) & m\ne0\\\pi\left(n+1,0\right) & m=0\end{cases}\]
カントールの対関数の定義
\[\pi\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n\right)\left(m+n+1\right)}{2}+n\]
ベータ関数の絶対収束条件
ベータ関数$B\left(p,q\right)$は$\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0$で絶対収束
ガンマ関数の絶対収束条件
ガンマ関数$\Gamma\left(z\right)$は$\Re\left(z\right)>0$で絶対収束
ゼータ関数の絶対収束条件
ゼータ関数$\zeta\left(s\right)$は$\Re\left(s\right)>1$で絶対収束
中央2項係数を含む通常型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\} \]
中央2項係数の通常型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}\]
2項係数の半分までの総和
\[\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2}\]
(*)フルヴィッツの公式
\[\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\} \]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[\zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right)\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現
\[\zeta\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)\]