正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示

正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示

(1)

\[ \tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z} \]

(2)

\[ \tanh\frac{z}{2}=\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \]

(1)

\begin{align*} \tan\frac{z}{2} & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}+1-\tan^{2}\frac{z}{2}}\\ & =\frac{\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}{1+\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}\\ & =\frac{\sin z}{1+\cos z} \end{align*}

(2)

\begin{align*} \tanh\frac{z}{2} & =-i\tan\frac{iz}{2}\\ & =-i\frac{\sin\left(iz\right)}{1+\cos\left(iz\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \end{align*}

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正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示

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