正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
(1)
\[ \tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z} \]
(2)
\[ \tanh\frac{z}{2}=\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \]
(1)
\begin{align*} \tan\frac{z}{2} & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}+1-\tan^{2}\frac{z}{2}}\\ & =\frac{\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}{1+\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}\\ & =\frac{\sin z}{1+\cos z} \end{align*}
(2)
\begin{align*} \tanh\frac{z}{2} & =-i\tan\frac{iz}{2}\\ & =-i\frac{\sin\left(iz\right)}{1+\cos\left(iz\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \end{align*}
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タイトル | 正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示 |
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三角関数と双曲線関数の対数
\[
\log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)
\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[
\tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}
\]
偏角の三角関数
\[
\sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の対数表示
\[
\Sin^{\bullet}z=-i\Log\left(iz+\sqrt{1-z^{2}}\right)
\]