正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
(1)
\[ \tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z} \]
(2)
\[ \tanh\frac{z}{2}=\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \]
(1)
\begin{align*} \tan\frac{z}{2} & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}+1-\tan^{2}\frac{z}{2}}\\ & =\frac{\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}{1+\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}\\ & =\frac{\sin z}{1+\cos z} \end{align*}
(2)
\begin{align*} \tanh\frac{z}{2} & =-i\tan\frac{iz}{2}\\ & =-i\frac{\sin\left(iz\right)}{1+\cos\left(iz\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示 |
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逆三角関数の三角関数と逆双曲線関数の双曲線関数
\[
\sin\Cos^{\circ}z=\sqrt{1-z^{2}}
\]
x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[
\int x\tan^{\pm1}\left(x\right)=\left(i\right)^{\pm1}\left(\frac{x^{2}}{2}-ixLi_{1}\left(\mp e^{2ix}\right)+\frac{1}{2}Li_{2}\left(\mp e^{2ix}\right)\right)
\]
三角関数・双曲線関数の一次結合の逆数の積分
\[
\int\frac{1}{\alpha\sin z+\beta\cos z+\gamma}dz=-\frac{2}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}\tanh^{\circ}\frac{\left(\gamma-\beta\right)\tan\frac{z}{2}+\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}+C
\]