正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
(1)
\[ \tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z} \](2)
\[ \tanh\frac{z}{2}=\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \](1)
\begin{align*} \tan\frac{z}{2} & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}+1-\tan^{2}\frac{z}{2}}\\ & =\frac{\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}{1+\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}\\ & =\frac{\sin z}{1+\cos z} \end{align*}(2)
\begin{align*} \tanh\frac{z}{2} & =-i\tan\frac{iz}{2}\\ & =-i\frac{\sin\left(iz\right)}{1+\cos\left(iz\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \end{align*}ページ情報
タイトル | 正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示 |
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逆正接関数・逆双曲線正接関数と多重対数関数の関係
\[
\Tan^{\bullet}z=\frac{i}{2}\left(-\Li_{1}\left(iz\right)+\Li_{1}\left(-iz\right)\right)
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の関係
\[
\Sin^{\bullet}\left(iz\right)=i\Sinh^{\bullet}z
\]
双曲線関数と三角関数の級数展開
\[
\tanh x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\left(2^{2k}-1\right)B_{2k}}{(2k)!}x{}^{2k-1}
\]
三角関数の積
\[
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}
\]