正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
(1)
\[ \tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z} \]
(2)
\[ \tanh\frac{z}{2}=\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \]
(1)
\begin{align*} \tan\frac{z}{2} & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}+1-\tan^{2}\frac{z}{2}}\\ & =\frac{\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}{1+\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}\\ & =\frac{\sin z}{1+\cos z} \end{align*}
(2)
\begin{align*} \tanh\frac{z}{2} & =-i\tan\frac{iz}{2}\\ & =-i\frac{\sin\left(iz\right)}{1+\cos\left(iz\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示 |
URL | https://www.nomuramath.com/nmhzqc7h/ |
SNSボタン |
- 三角関数(双曲線関数)の対数とリーマン・ゼータ関数\[ \log\left(\sin\left(\pi x\right)\right)=\log\left(\pi x\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta\left(2k\right)}{k}x^{2k} \]
- 逆三角関数と逆双曲線関数の対数表示\[ \Sin^{\circ}z=-i\Log\left(iz+\sqrt{1-z^{2}}\right) \]
- 三角関数と双曲線関数の加法定理\[ \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y \]
- 三角関数と双曲線関数のn乗積分\[ \int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\} \]
- 三角関数と双曲線関数の対数\[ \log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right) \]