フルヴィッツのゼータ関数の定義
フルヴィッツのゼータ関数の定義
\(1<\Re\left(s\right)\;\land\;a\notin\mathbb{Z}_{\;0}^{-}\)とする。
\[ \zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}} \]
\(1<\Re\left(s\right)\;\land\;a\notin\mathbb{Z}_{\;0}^{-}\)とする。
\[ \zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}} \]
ページ情報
| タイトル | フルヴィッツのゼータ関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xqwiq65z/ |
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リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[
\zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right)
\]
リーマンゼータ関数の関数等式
\[
\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s)
\]
完備リーマンゼータ関数の関数等式
\[
\xi(s)=\xi(1-s)
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[
\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)
\]