ベータ関数の絶対収束条件

ベータ関数の絶対収束条件

ベータ関数

\[ B\left(p,q\right)=\int_{0}^{1}t^{p-1}\left(1-t\right)^{q-1}dt \]

は\(\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0\)で絶対収束する。

ベータ関数が絶対収束するには\(\int_{0}^{1}\left|t^{p-1}\left(1-t\right)^{q-1}\right|dt\)が収束する必要があり、\(\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0\)とすると、

\begin{align*} \int_{0}^{1}\left|t^{p-1}\left(1-t\right)^{q-1}\right|dt & =\int_{0}^{1}\left|t^{\Re\left(p\right)-1}\left(1-t\right)^{\Re\left(q\right)-1}t^{i\Im\left(p\right)}\left(1-t\right)^{i\Im\left(q\right)}\right|dt\\ & =\int_{0}^{1}t^{\Re\left(p\right)-1}\left(1-t\right)^{\Re\left(q\right)-1}dt\\ & =\int_{0}^{\frac{1}{2}}t^{\Re\left(p\right)-1}\left(1-t\right)^{\Re\left(q\right)-1}dt+\int_{\frac{1}{2}}^{1}t^{\Re\left(p\right)-1}\left(1-t\right)^{\Re\left(q\right)-1}dt\\ & \leq\max_{0\leq t\leq1}\left(\left(1-t\right)^{\Re\left(q\right)-1}\right)\int_{0}^{\frac{1}{2}}t^{\Re\left(p\right)-1}dt+\max_{0\leq t\leq1}\left(t^{\Re\left(p\right)-1}\right)\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-t\right)^{\Re\left(q\right)-1}dt\\ & =\max_{0\leq t\leq1}\left(\left(1-t\right)^{\Re\left(q\right)-1}\right)\left[\frac{t^{\Re\left(p\right)}}{\Re\left(p\right)}\right]_{0}^{\frac{1}{2}}+\max_{0\leq t\leq1}\left(t^{\Re\left(p\right)-1}\right)\left[-\frac{\left(1-t\right)^{\Re\left(p\right)}}{\Re\left(p\right)}\right]_{\frac{1}{2}}^{1}\\ & =\max_{0\leq t\leq1}\left(\left(1-t\right)^{\Re\left(q\right)-1}\right)\frac{1}{2^{\Re\left(p\right)}\Re\left(p\right)}+\max_{0\leq t\leq1}\left(t^{\Re\left(p\right)-1}\right)\frac{1}{2^{\Re\left(p\right)}\Re\left(p\right)}\\ & <\infty \end{align*}

となり収束する。
故にベータ関数\(B\left(p,q\right)\)は\(\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0\)で絶対収束する。

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ベータ関数の絶対収束条件

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