ゼータ関数の絶対収束条件

ゼータ関数が絶対収束するには\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^{s}}\right|\)が収束する必要がある。

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^{s}}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-s}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-\Re\left(s\right)-i\Im\left(s\right)}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-\Re\left(s\right)}e^{-i\Im\left(s\right)\log k}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}} \end{align*}

これは\(\Re\left(s\right)=1\)のとき調和級数となり発散し、それより各項の大きい\(\Re\left(s\right)<1\)のときも発散するので、\(1<\Re\left(s\right)\)とすると、

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^{s}}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}}\\ & =1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}}\\ & =1+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{\Re\left(s\right)}}dx\\ & =1+\left[\frac{x^{1-\Re\left(s\right)}}{1-\Re\left(s\right)}\right]_{1}^{\infty}\\ & =1-\frac{1}{1-\Re\left(s\right)}\\ & =1+\frac{1}{\Re\left(s\right)-1}\\ & <\infty \end{align*}

となり収束する。
故にゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)は\(\Re\left(s\right)>1\)で絶対収束する。