負の整数の2項係数
負の整数の2項係数
\(m,n\in\mathbb{Z}\)とする。
\(m,n\in\mathbb{Z}\)とする。
(1)
\[ C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right) \](2)
\[ C\left(-m,n\right)=\left(-1\right)^{n}C\left(m+n-1,m-1\right) \](3)
\[ C\left(m,-n\right)=C\left(m,m+n\right) \](1)
\begin{align*} C\left(-m,-n\right) & =\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!\left(-m+n\right)!}\\ & =\left(-1\right)^{m-n}\frac{\left(n-1\right)!}{\left(m-1\right)!\left(n-m\right)!}\\ & =\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} C\left(-m,n\right) & =C\left(-m,-\left(m+n\right)\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}C\left(m+n-1,m-1\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} C\left(m,-n\right) & =\frac{m!}{\left(-n\right)!\left(m+n\right)!}\\ & =C\left(m,m+n\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 負の整数の2項係数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bn096ia7/ |
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2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e}
\]
2項変換と交代2項変換の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}
\]
2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]