負の整数の2項係数

負の整数の2項係数
\(m,n\in\mathbb{Z}\)とする。

(1)

\[ C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right) \]

(2)

\[ C\left(-m,n\right)=\left(-1\right)^{n}C\left(m+n-1,m-1\right) \]

(3)

\[ C\left(m,-n\right)=C\left(m,m+n\right) \]

(1)

\begin{align*} C\left(-m,-n\right) & =\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!\left(-m+n\right)!}\\ & =\left(-1\right)^{m-n}\frac{\left(n-1\right)!}{\left(m-1\right)!\left(n-m\right)!}\\ & =\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} C\left(-m,n\right) & =C\left(-m,-\left(m+n\right)\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}C\left(m+n-1,m-1\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} C\left(m,-n\right) & =\frac{m!}{\left(-n\right)!\left(m+n\right)!}\\ & =C\left(m,m+n\right) \end{align*}

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タイトル
負の整数の2項係数
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