パスカルの法則の一般形
パスカルの法則の一般形
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
(0)
ファンデルモンドの畳み込み定理より、\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,n-k\right)C\left(x,y+n-k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+n-k\right)\\ & =C\left(x+n,y+n\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(0)-2
\(n=0\)のとき明らかに成り立つ。\(n=j\)のとき成り立つと仮定すると、\(n=j+1\)のときは、
\begin{align*} C\left(x+j+1,y+j+1\right) & =C\left(x+j,y+j\right)+C\left(x+j,y+1+j\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k\right)+\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k+1\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k\right)+\sum_{k=1}^{j+1}C\left(j,k-1\right)C\left(x,y+k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}\left\{ C\left(j,k\right)+C\left(j,k-1\right)\right\} C\left(x,y+k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C\left(j+1,k\right)C\left(x,y+k\right) \end{align*} となるので成り立つ。
故に数学的帰納法より与式は成り立つ。
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タイトル | パスカルの法則の一般形 |
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2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
2項係数の飛び飛びの総和
\[
\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l}
\]
中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e}
\]