パスカルの法則の一般形
パスカルの法則の一般形
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
(0)
ファンデルモンドの畳み込み定理より、\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,n-k\right)C\left(x,y+n-k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+n-k\right)\\ & =C\left(x+n,y+n\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(0)-2
\(n=0\)のとき明らかに成り立つ。\(n=j\)のとき成り立つと仮定すると、\(n=j+1\)のときは、
\begin{align*} C\left(x+j+1,y+j+1\right) & =C\left(x+j,y+j\right)+C\left(x+j,y+1+j\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k\right)+\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k+1\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k\right)+\sum_{k=1}^{j+1}C\left(j,k-1\right)C\left(x,y+k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}\left\{ C\left(j,k\right)+C\left(j,k-1\right)\right\} C\left(x,y+k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C\left(j+1,k\right)C\left(x,y+k\right) \end{align*} となるので成り立つ。
故に数学的帰納法より与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | パスカルの法則の一般形 |
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ディクソンの等式
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}
\]
2項係数を含む総和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}
\]
負の整数の2項係数
\[
C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right)
\]
2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}
\]