ガンマ関数の絶対収束条件

ガンマ関数の絶対収束条件

ガンマ関数

\[ \Gamma\left(z\right)=\int_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-z}dx \]

は\(\Re\left(z\right)>0\)で絶対収束する。

ガンマ関数が絶対収束するには\(\int_{0}^{\infty}\left|x^{z-1}e^{-x}\right|dx\)が収束する必要があり、\(\Re\left(z\right)>0\)とすると、

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\left|x^{z-1}e^{-x}\right|dx & =\int_{0}^{\infty}\left|x^{\Re\left(z\right)-1}x^{i\Im\left(z\right)}e^{-x}\right|dx\\ & =\int_{0}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx+\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx+\int_{1}^{\infty}\frac{x^{\Re\left(z\right)-1}}{e^{x}}dx\\ & \leq\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}dx+\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{x^{\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1}}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}dx+\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -2}dx\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}\left[x^{\Re\left(z\right)}\right]_{0}^{1}+\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\left[x^{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\right]_{1}^{\infty}\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}-\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}+\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1-\Re\left(z\right)}\\ & <\infty \end{align*}

となり収束する。
ここで\(0<x\)のとき任意の非負整数\(m\)について、

\begin{align*} e^{x} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & >\frac{x^{m}}{m!} \end{align*}

を使った。
故にガンマ関数\(\Gamma\left(z\right)\)は\(\Re\left(z\right)>0\)で絶対収束する。

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ガンマ関数の絶対収束条件

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