中央2項係数の値

中央2項係数の値
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。

\[ C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \]

\(n\in\mathbb{N}_{0}\)のとき

\begin{align*} C\left(2n,n\right) & =\frac{\left(2n\right)!}{n!n!}\\ & =\frac{\left(2n\right)!!\left(2n-1\right)!!}{n!n!}\\ & =\frac{2^{n}n!2^{n}\left(n-\frac{1}{2}\right)!}{n!n!\left(-\frac{1}{2}\right)!}\\ & =\frac{4^{n}\left(n-\frac{1}{2}\right)!}{n!\left(-\frac{1}{2}\right)!}\\ & =\frac{4^{n}Q\left(\frac{1}{2},n\right)}{n!}\\ & =\frac{4^{n}\left(-1\right)^{n}P\left(-\frac{1}{2},n\right)}{n!}\\ & =4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \end{align*}

\(n\in\mathbb{N}^{-}\)のとき

\(n=-m\)とおくと、\(m\in\mathbb{N}\)となる。
与式左辺は

\begin{align*} C\left(2n,n\right) & =\frac{P\left(2n,n\right)}{n!}\\ & =\frac{Q\left(n+1,n\right)}{n!}\\ & =\frac{1}{n!P\left(n,-n\right)}\\ & =\frac{1}{\left(-m\right)!P\left(-m,m\right)}\\ & =0 \end{align*}

与式右辺は

\begin{align*} 4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) & =\frac{4^{n}\left(-1\right)^{n}P\left(-\frac{1}{2},n\right)}{n!}\\ & =\frac{4^{n}\left(-1\right)^{n}Q\left(\frac{1}{2}-n,n\right)}{n!}\\ & =\frac{4^{n}\left(-1\right)^{n}}{n!P\left(-\frac{1}{2}-n,-n\right)}\\ & =\frac{4^{-m}\left(-1\right)^{-m}}{\left(-m\right)!P\left(-\frac{1}{2}+m,m\right)}\\ & =0 \end{align*}

これより、 \(n\in\mathbb{N}^{-}\)で与式は成り立つ。

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これより、\(n\in\mathbb{Z}\)で与式は成り立つ。

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中央2項係数の値

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