(*)オイラー多項式の特殊値
\[E_{n}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{E_{n}}{2^{n}}\]
オイラー多項式の定義
\[E_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k}\]
ベルヌーイ多項式の微分表示
\[B_{n}\left(x\right)=\frac{D}{e^{D}-1}x^{n}\]
(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗
\[P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right)\]
ベルヌーイ多項式の指数型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}\]
(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分
\[B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right)\]
(*)ベルヌーイ多項式の総和
\[\sum_{j=0}^{n}C\left(n,j\right)B_{j}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(-x\right)\]
(*)ベルヌーイ多項式同士の関係
\[B_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(x\right)\]
(*)ベルヌーイ多項式の特殊値
\[B_{n}\left(0\right)=B_{n}\]
ベルヌーイ多項式の級数表示
\[B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j\right)\left(x+j\right)^{n}\]
ベルヌーイ多項式の定義
\[B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}\]
2項変換と交代2項変換の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}\]
3角関数3つでの積和公式・和積公式
\[\sin A+\sin B+\sin C=4\sin\frac{B+C}{2}\sin\frac{C+A}{2}\sin\frac{A+B}{2}+\sin\left(A+B+C\right)\]
3角関数・双曲線関数の無限乗積展開
\[\sin\left(\pi z\right)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\]
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
\[\gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right)\]
リーマン・ゼータ関数のローラン展開
\[\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt\]
飛び飛びの2項定理
\[\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\} \]
リーマン・ゼータ関数を含む総和
\[\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma\]
そのままだとΓ(0)になる積分
\[\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma\]
指数関数の多重対数関数の積分
\[\int\Li_{n}\left(e^{z}\right)dz=\Li_{n+1}\left(e^{z}\right)+C\]
正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
\[\tan^{\pm1}z=i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right)\]
2項係数の飛び飛びの総和
\[\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l}\]
偶関数・奇関数の定積分
$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$