ルートiが無限に続くといくつになる？
\[\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{\cdots}}}}=?\]
逆3角関数の積の方程式
\[\Sin^{\bullet}x\Cos^{\bullet}x=\frac{\pi^{2}}{18},x=?\]
2番目に大きい数字
2番目に大きい数字を選んだ人が勝つゲームはどうなる？
1と3角関数・双曲線関数(半角の公式の拡張)
\[1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}\]
sinとcosの5乗が1になる方程式
\[\sin^{5}x+\cos^{5}x=1,x=?\]
γとπが出てくる定積分
\[\int_{0}^{\infty}e^{-x}\log^{2}\left(x\right)dx=?\]
『相加平均・相乗平均・調和平均の大小関係』を更新しました。
『pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間』を更新しました。
3角関数と3角関数の対数の積分
\[\int\sin\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz=-\cos z\log\sin z+\cos z+\log\left(\sin\frac{z}{2}\right)-\log\left(\cos\frac{z}{2}\right)+C\]
ガウス積分の応用
\[\int_{0}^{\infty}x^{\gamma}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{\alpha^{-\frac{1+\gamma}{b}}}{1+\gamma}\Gamma\left(\frac{1+\gamma}{b}+1\right)\]
(*)ガンマ関数と複素数
\[\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt\]
積が非負実数のべき乗
\[\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}\]
ガウス積分の一般化
\[\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)\]
ガウス積分
\[\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\]
フレネル積分の級数表示
\[\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{4k+3}}{\left(2k+1\right)!\left(4k+3\right)}\]
フレネル積分の一般化
\[\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx=\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\sin\frac{\pi}{2a}\]
フレネル積分の値
\[\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}\]
フレネル積分の定義
\[S\left(x\right):=\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx\]
分子が対数で分母が多項式の定積分
\[\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=?\]
積み木の積み上げ問題
積み木を積み重ねると最大でどれだけずらせることが出来るのか？
4枚カード問題(ウェイソン選択課題)
仮説を検証するにはどのカードの裏面を確認する必要があるか？
床関数の総和の2乗の定積分
\[\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=?\]
1-1+1-1+…と続く総和
\[\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}\]
対数を含む積分
\[\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}\]
指数関数の実部と虚部
\[\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)\]