フレネル積分の定義
フレネル積分の定義
次の積分をフレネル積分という。
次の積分をフレネル積分という。
(1)
\[ S\left(x\right):=\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx \](2)
\[ C\left(x\right):=\int_{0}^{x}\cos\left(x^{2}\right)dx \]積分区間が0から\(\infty\)までの定積分
\[ S\left(\infty\right)=\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx \] \[ C\left(\infty\right)=\int_{0}^{\infty}\cos\left(x^{2}\right)dx \] をフレネル積分ということもある。
また、正規化されたフレネル積分を
\[ S'\left(x\right):=\int_{0}^{x}\sin\left(\frac{\pi}{2}x^{2}\right)dx \] \[ C'\left(x\right):=\int_{0}^{x}\cos\left(\frac{\pi}{2}x^{2}\right)dx \] と定める。
このとき、
\begin{align*} S'\left(x\right) & =\int_{0}^{x}\sin\left(\frac{\pi}{2}x^{2}\right)dx\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}S\left(x\right) \end{align*} \begin{align*} C'\left(x\right) & =\int_{0}^{x}\cos\left(\frac{\pi}{2}x^{2}\right)dx\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{x}\cos\left(x^{2}\right)dx\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}C\left(x\right) \end{align*} の関係がある。
またフレネル積分は、
\[ S\left(\infty\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}{4} \] \[ C\left(\infty\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}{4} \] であるが、正規化されたフレネル積分は
\[ S'\left(\infty\right)=\frac{1}{2} \] \[ C'\left(\infty\right)=\frac{1}{2} \] となる。
\[ S\left(\infty\right)=\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx \] \[ C\left(\infty\right)=\int_{0}^{\infty}\cos\left(x^{2}\right)dx \] をフレネル積分ということもある。
また、正規化されたフレネル積分を
\[ S'\left(x\right):=\int_{0}^{x}\sin\left(\frac{\pi}{2}x^{2}\right)dx \] \[ C'\left(x\right):=\int_{0}^{x}\cos\left(\frac{\pi}{2}x^{2}\right)dx \] と定める。
このとき、
\begin{align*} S'\left(x\right) & =\int_{0}^{x}\sin\left(\frac{\pi}{2}x^{2}\right)dx\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}S\left(x\right) \end{align*} \begin{align*} C'\left(x\right) & =\int_{0}^{x}\cos\left(\frac{\pi}{2}x^{2}\right)dx\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{x}\cos\left(x^{2}\right)dx\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi}}C\left(x\right) \end{align*} の関係がある。
またフレネル積分は、
\[ S\left(\infty\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}{4} \] \[ C\left(\infty\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}{4} \] であるが、正規化されたフレネル積分は
\[ S'\left(\infty\right)=\frac{1}{2} \] \[ C'\left(\infty\right)=\frac{1}{2} \] となる。
ページ情報
| タイトル | フレネル積分の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wpp2jkcv/ |
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フレネル積分の値
\[
\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}
\]
フレネル積分の級数表示
\[
\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{4k+3}}{\left(2k+1\right)!\left(4k+3\right)}
\]
ガウス積分
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\]
ガウス積分の一般化
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)
\]