複素数の実部と虚部
複素数の実部と虚部
\(z\in\mathbb{C}\)とする。
\(\Im\left(z\right)\)は\(z\)の虚部。
\(z\in\mathbb{C}\)とする。
(1)
\[ \Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right) \](2)
\[ \Im\left(-z\right)=-\Im\left(z\right) \](3)
\[ \Re\left(iz\right)=-\Im\left(z\right) \](4)
\[ \Im\left(iz\right)=\Re\left(z\right) \](5)
\[ \Re\left(\left|a\right|z\right)=\left|a\right|\Re\left(z\right) \](6)
\[ \Im\left(\left|a\right|z\right)=\left|a\right|\Im\left(z\right) \]-
\(\Re\left(z\right)\)は\(z\)の実部。\(\Im\left(z\right)\)は\(z\)の虚部。
(1)
\begin{align*} \Re\left(-z\right) & =\Re\left(-\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(-\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Re\left(z\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \Im\left(-z\right) & =\Im\left(-\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(-\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Im\left(z\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \Re\left(iz\right) & =\Re\left(i\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(i\Re\left(z\right)-\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Im\left(z\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} \Im\left(iz\right) & =\Im\left(i\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(i\Re\left(z\right)-\Im\left(z\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right) \end{align*}(5)
\begin{align*} \Re\left(\left|a\right|z\right) & =\Re\left(\left|a\right|\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(\left|a\right|\Re\left(z\right)+i\left|a\right|\Im\left(z\right)\right)\\ & =\left|a\right|\Re\left(z\right) \end{align*}(6)
\begin{align*} \Im\left(\left|a\right|z\right) & =\Im\left(\left|a\right|\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(\left|a\right|\Re\left(z\right)+i\left|a\right|\Im\left(z\right)\right)\\ & =\left|a\right|\Im\left(z\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 複素数の実部と虚部 |
| URL | https://www.nomuramath.com/efd87zlp/ |
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偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
偏角・対数と符号関数の関係
\[
\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)
\]
絶対値の冪乗
\[
\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]