複素数の実部と虚部
複素数の実部と虚部
\(z\in\mathbb{C}\)とする。
\(\Im\left(z\right)\)は実部。
\(z\in\mathbb{C}\)とする。
(1)
\[ \Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right) \](2)
\[ \Im\left(-z\right)=-\Im\left(z\right) \](3)
\[ \Re\left(iz\right)=-\Im\left(z\right) \](4)
\[ \Im\left(iz\right)=\Re\left(z\right) \](5)
\[ \Re\left(\left|a\right|z\right)=\left|a\right|\Re\left(z\right) \](6)
\[ \Im\left(\left|a\right|z\right)=\left|a\right|\Im\left(z\right) \]-
\(\Re\left(z\right)\)は実部。\(\Im\left(z\right)\)は実部。
(1)
\begin{align*} \Re\left(-z\right) & =\Re\left(-\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(-\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Re\left(z\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \Im\left(-z\right) & =\Im\left(-\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(-\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Im\left(z\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \Re\left(iz\right) & =\Re\left(i\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(i\Re\left(z\right)-\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Im\left(z\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} \Im\left(iz\right) & =\Im\left(i\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(i\Re\left(z\right)-\Im\left(z\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right) \end{align*}(5)
\begin{align*} \Re\left(\left|a\right|z\right) & =\Re\left(\left|a\right|\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(\left|a\right|\Re\left(z\right)+i\left|a\right|\Im\left(z\right)\right)\\ & =\left|a\right|\Re\left(z\right) \end{align*}(6)
\begin{align*} \Im\left(\left|a\right|z\right) & =\Im\left(\left|a\right|\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(\left|a\right|\Re\left(z\right)+i\left|a\right|\Im\left(z\right)\right)\\ & =\left|a\right|\Im\left(z\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 複素数の実部と虚部 |
| URL | https://www.nomuramath.com/efd87zlp/ |
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絶対値の冪乗
\[
\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
冪乗の性質
\[
\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}
\]
偏角・対数の和と差
\[
\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]