分母にルート同士の和がある総和
\[\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=?\]
2項係数の対称性を使います
\[\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?\]
分母の形に気付くかな
\[\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?\]
始点・終点に関して対称な形を含む総和・積分
\[\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}=\frac{b-a+1}{2}\]
総和・総乗・積分の順序・区間反転公式
\[\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right)\]
偶関数・奇関数の定積分
$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$
偶関数・奇関数の導関数
偶関数の導関数は奇関数になる。
偶関数・奇関数の和・積
\[\text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数}\]
関数の偶奇分解
\[f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right)\]
偶関数・奇関数の定義
\[f\left(-x\right)=\pm f\left(x\right)\]
簡単に見えますが厳密に解くのは手間がかかります
\[a=\frac{bx}{x-c},x=?\]
『位相空間での内部・閉包・境界・導集合・孤立点全体の集合と和集合・積集合』を更新しました。
分母に1次式がある方程式の厳密解
\[\frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right)\end{cases}\]
答えを求めるだけなら簡単
\[\sqrt{x^{2}-9}=x-2,x=?\]
根号の中に根号がある整数問題
\[\sqrt{n+\sqrt{n+7}}\in\mathbb{N},n=?\]
2乗同士の差が素数のときその差はいくつになる？
$m^{2}-n^{2}$が素数のとき、$m-n$は？
xのx乗がxになる方程式
\[x^{x}=x,x=?\]
3連続数字の積に１を足した根号
\[\sqrt{55\cdot56\cdot57+1}=?\]
『位相空間での和集合・積集合の内部・閉包』を更新しました。
気付かないと解けないかも
\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+x\right)\left(a^{2}+\log^{2}x\right)}dx=?\]
aのa乗にして解く問題
\[27^{x}x=1,x=?\]