(0)

\(x:0\rightarrow\infty\)なので、\(t=-ix^{a}\)とおくと\(x\)と\(x^{a}\)は非負実数で\(\Arg\left(-i\right)\ne\pi\)なので、\(x=\left(x^{a}\right)^{\frac{1}{a}}=\left(it\right)^{\frac{1}{a}}=i^{\frac{1}{a}}t^{\frac{1}{a}}\)となり、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{-iR^{a}}e^{-t}\frac{i^{\frac{1}{a}}t^{\frac{1}{a}-1}}{a}dt\cmt{t=-ix^{a}}\\ & =\frac{i^{\frac{1}{a}}}{a}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|-i\right|R^{a}e^{i\Arg\left(-i\right)}}t^{\frac{1}{a}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{e^{\frac{1}{a}\Log\left(i\right)}}{a}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-i\frac{\pi}{2}}}t^{\frac{1}{a}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{e^{\frac{\pi}{2a}i}}{a}\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{a}-1}e^{-t}dt\cmt{\because0<\Re\left(\frac{1}{a}\right)<1\land\Arg\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{e^{\frac{\pi}{2a}i}}{a}\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\\ & =e^{\frac{\pi}{2a}i}\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right) \end{align*} となる。 従って、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx & =\Im\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx\right)\\ & =\Im\left(e^{\frac{\pi}{2a}i}\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\right)\\ & =\sin\left(\frac{\pi}{2a}\right)\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right) \end{align*} \begin{align*} \int_{0}^{\infty}\cos\left(x^{2}\right)dx & =\Re\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx\right)\\ & =\Re\left(e^{\frac{\pi}{2a}i}\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\right)\\ & =\cos\left(\frac{\pi}{2a}\right)\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right) \end{align*} となる。

(0)-2

\[ \int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx=\Im\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx\right) \] \[ \int_{0}^{\infty}\cos\left(x^{a}\right)dx=\Re\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx\right) \] となるので\(\int_{0}^{x}e^{ix^{a}}dx\)を求める。
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-i\frac{\pi}{2a}}}e^{it^{a}e^{i\frac{\pi}{2}}}e^{i\frac{\pi}{2a}}dt\cmt{x=te^{i\frac{\pi}{2a}}}\\ & =e^{i\frac{\pi}{2a}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-i\frac{\pi}{2a}}}e^{-t^{a}}dt\\ & =e^{i\frac{\pi}{2a}}\int_{C_{3}}e^{-z^{a}}dz\\ & =e^{i\frac{\pi}{2a}}\int_{C-C_{1}-C_{2}}e^{-z^{a}}dz\\ & =e^{i\frac{\pi}{2a}}\left(\int_{C}e^{-z^{a}}dz+\int_{-C_{1}}e^{-z^{a}}dz+\int_{-C_{2}}e^{-z^{a}}dz\right) \end{align*} 積分経路は、\(C_{1}\)は実軸上\(r\)を\(r:0\rightarrow R\)として、\(C_{2}\)は半径\(R\)を一定で\(Re^{i\theta}\)を\(\theta:0\rightarrow-\frac{\pi}{2a}\)とし、\(C_{3}\)は\(\mathit{\theta=-\frac{\pi}{2a}}\)上で\(re^{-i\frac{\pi}{2a}}\)を\(r:R\rightarrow0\)である。
また、\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\)とすると\(C\)は\(0\rightarrow R\rightarrow Re^{i\frac{\pi}{2a}}\rightarrow0\)を通る。
右辺第1項の周回積分は特異点がないので
\[ \int_{C}e^{-z^{a}}dz=0 \] となる。
右辺第2項は、
\begin{align*} \int_{-C_{1}}e^{-z^{a}}dz & =\int_{\infty}^{0}e^{-R^{a}}dR\\ & =-\int_{0}^{\infty}e^{-R^{a}}dR\\ & =\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\frac{1}{a}-1}dx\cmt{R^{a}=x}\\ & =\frac{1}{a}\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right) \end{align*} となる。
右辺第3項は、\(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)では\(\frac{2}{\pi}\theta\leq\sin\theta\)なので、
\begin{align*} \left|\int_{-C_{2}}e^{-z^{a}}dz\right| & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|-\int_{0}^{-\frac{\pi}{2a}}e^{-R^{a}e^{ia\theta}}iRe^{i\theta}d\theta\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\left|\int_{0}^{-\frac{\pi}{2a}}e^{-R^{a}\left(\cos\left(a\theta\right)+i\sin\left(a\theta\right)\right)}e^{i\theta}d\theta\right|\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|-\frac{\pi}{2a}\right|}\left|e^{-R^{a}\left(\cos\left(a\theta\right)+i\sin\left(a\theta\right)\right)}e^{i\theta}\right|d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\frac{\pi}{2a}}e^{-R^{a}\cos\left(a\theta\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\frac{\pi}{2a}}e^{-R^{a}\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\theta\right)}d\theta\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\frac{\pi}{2a}}e^{-R^{a}\left(1-\frac{2a\theta}{\pi}\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}Re^{-R^{a}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2a}}e^{R^{a}\frac{2a\theta}{\pi}}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}Re^{-R^{a}}\left[\frac{\pi}{2aR^{a}}e^{2aR^{a}\frac{\theta}{\pi}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2a}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{2aR^{a-1}}e^{-R^{a}}\left[e^{2aR^{a}\frac{\theta}{\pi}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2a}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{2aR^{a-1}}e^{-R^{a}}\left(e^{R^{a}}-1\right)\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{2aR^{a-1}}\left(1-e^{-R^{a}}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \int_{-C_{2}}e^{-z^{a}}dz=0 \] となる。
これらより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx & =e^{i\frac{\pi}{2a}}\left(\int_{C}e^{-z^{a}}dz+\int_{-C_{1}}e^{-z^{a}}dz+\int_{-C_{2}}e^{-z^{a}}dz\right)\\ & =e^{\frac{\pi}{2a}i}\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right) \end{align*} となる。
従って、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx & =\Im\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx\right)\\ & =\Im\left(e^{\frac{\pi}{2a}i}\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\sin\frac{\pi}{2a} \end{align*} \begin{align*} \int_{0}^{\infty}\cos\left(x^{a}\right)dx & =\Re\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{a}}dx\right)\\ & =\Re\left(e^{\frac{\pi}{2a}i}\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\cos\frac{\pi}{2a} \end{align*} となる。