対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い

by nomura · 2024年1月3日

対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\(z\in\mathbb{C}\)とする。

(1)

\[ z=\exp\left(\Log\left(z\right)\right) \]

(2)

\[ \Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right) \]

(3)

\[ \left|\Re\left(z\right)\right|=\Log\left|\exp\left(z\right)\right| \]

-

\(\Re\left(z\right)\)は実部。
\(\Im\left(z\right)\)は虚部。

\(\Log\left(\exp\left(2\pi i\right)\right)=\Log\left(1\right)=0\ne2\pi i\)なので、
\(z=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)\)は一般的に成り立たない。

(1)

指数関数の定義\(\alpha^{\beta}=e^{\beta\Log\alpha}\)より、
\begin{align*} z & =z^{1}\\ & =e^{1\Log z}\\ & =\exp\left(\Log\left(z\right)\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \Log\left(\exp\left(z\right)\right) & =\Log\left(\exp\left(\Re\left(z\right)+\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Log\left(\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\ln\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right|+i\Arg\left(\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right)+i\Arg\left(\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} \Log\left|\exp\left(z\right)\right| & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\exp\Re\left(z\right)\\ & =\Re\left(z\right) \end{align*}