対数を含む積分
対数を含む積分
対数を含む次の積分が成り立つ。
\[ \int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0} \]
対数を含む次の積分が成り立つ。
\[ \int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0} \]
\(f\left(x\right)=x^{n}\)とすると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}x^{n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t+n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{t+n+1}x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =\left[-\frac{1}{\left(t+n+1\right)^{2}}x^{t+n+1}+\frac{1}{t+n+1}\log\left(x\right)x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}}+\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1} \end{align*} となる。
部分積分で求めると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\int\frac{x^{n}}{n+1}dx\\ & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}} \end{align*} となるのでこの場合は普通に部分積分で求める方がよい。
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}x^{n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t+n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{t+n+1}x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =\left[-\frac{1}{\left(t+n+1\right)^{2}}x^{t+n+1}+\frac{1}{t+n+1}\log\left(x\right)x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}}+\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1} \end{align*} となる。
部分積分で求めると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\int\frac{x^{n}}{n+1}dx\\ & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}} \end{align*} となるのでこの場合は普通に部分積分で求める方がよい。
\begin{align*}
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx & =\int\left[\log\left(x\right)x^{t}\right]_{t=0}f\left(x\right)dx\\
& =\int\left[\frac{d}{dt}x^{t}\right]_{t=0}f\left(x\right)dx\\
& =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 対数を含む積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xe0d2pwn/ |
| SNSボタン |
ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]
微分・原始関数・定積分・不定積分の定義
\[
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\]
逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]