(1)

\(n=2m\)のとき

\(m\in\mathbb{N}_{0}\)として\(n=2m\)のとき
\[ I_{2m}\left(a\right)=\int_{0}^{\infty}x^{2m}e^{-ax^{2}}dx \] とおくと、
\begin{align*} I_{0}\left(a\right) & =\int_{0}^{\infty}e^{-ax^{2}}dx\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{align*} より、
\begin{align*} I_{2m}\left(a\right) & =\int_{0}^{\infty}x^{2m}e^{-ax^{2}}dx\\ & =-\frac{d}{da}\int_{0}^{\infty}x^{2\left(m-1\right)}e^{-ax^{2}}dx\\ & =-\frac{d}{da}I_{2\left(m-1\right)}\left(a\right)\\ & =\left(-1\right)^{k}\frac{d^{k}}{da^{k}}I_{2\left(m-k\right)}\left(a\right)\cmt{\forall k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }\\ & =\left(-1\right)^{m}\frac{d^{m}}{da^{m}}I_{0}\left(a\right)\\ & =\left(-1\right)^{m}\frac{d^{m}}{da^{m}}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{m}\sqrt{\pi}}{2}\frac{d^{m}}{da^{m}}a^{-\frac{1}{2}}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{m}\sqrt{\pi}}{2}a^{-\frac{1}{2}-m}\prod_{k=1}^{m}\left(-\frac{1}{2}-\left(k-1\right)\right)\\ & =\frac{\left(-1\right)^{m}\sqrt{\pi}}{2}a^{-\frac{1}{2}-m}\prod_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{2}-k\right)\\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{2}a^{-\frac{1}{2}-m}\prod_{k=1}^{m}\left(k-\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{2}a^{-\frac{1}{2}-m}\frac{\left(m-\frac{1}{2}\right)!}{\left(-\frac{1}{2}\right)!}\\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{2}a^{-\frac{1}{2}-m}\frac{\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\\ & =\frac{1}{2}a^{-\frac{1}{2}-m}\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right) \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}x^{2m}e^{-x^{2}}dx & =I_{2m}\left(1\right)\\ & =\frac{1}{2}\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right) \end{align*} となる。

\(n=2m+1\)のとき

\(m\in\mathbb{N}_{0}\)として\(n=2m+1\)のとき
\[ I_{2m+1}\left(a\right)=\int_{0}^{\infty}x^{2m+1}e^{-ax^{2}}dx \] とおくと、
\begin{align*} I_{1}\left(a\right) & =\int_{0}^{\infty}xe^{-ax^{2}}dx\\ & =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-ax^{2}}d\left(x^{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{-1}{a}e^{-ax^{2}}\right]_{x^{2}=0}^{x^{2}=\infty}\\ & =\frac{1}{2a} \end{align*} より、
\begin{align*} I_{2m+1}\left(a\right) & =\int_{0}^{\infty}x^{2m+1}e^{-ax^{2}}dx\\ & =-\frac{d}{da}\int_{0}^{\infty}x^{2\left(m-1\right)+1}e^{-ax^{2}}dx\\ & =-\frac{d}{da}I_{2\left(m-1\right)+1}\left(a\right)\\ & =\left(-1\right)^{k}\frac{d^{k}}{da^{k}}I_{2\left(m-k\right)+1}\left(a\right)\cmt{\forall k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }\\ & =\left(-1\right)^{m}\frac{d^{m}}{da^{m}}I_{1}\left(a\right)\\ & =\frac{\left(-1\right)^{m}}{2}\frac{d^{m}}{da^{m}}a^{-1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{m}}{2}a^{-1-m}\prod_{k=1}^{m}\left(-k\right)\\ & =\frac{a^{-1-m}}{2}\prod_{k=1}^{m}k\\ & =\frac{a^{-1-m}}{2}m!\\ & =\frac{a^{-1-m}}{2}\Gamma\left(m+1\right) \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}x^{2m+1}e^{-x^{2}}dx & =I_{2m+1}\left(1\right)\\ & =\frac{1}{2}\Gamma\left(m+1\right) \end{align*} となる。

-

これらより、\(n\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}x^{2n}e^{-x^{2}}dx & =\frac{1}{2}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{2n+1}{2}\right) \end{align*} \begin{align*} \int_{0}^{\infty}x^{2n+1}e^{-x^{2}}dx & =\frac{1}{2}\Gamma\left(n+1\right)\\ & =\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{\left(2n+1\right)+1}{2}\right) \end{align*} なので、
\[ \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) \] が成り立つ。
従って与式は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}x^{\gamma}e^{-\alpha x^{b}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha R^{b}}\left(\left(\frac{y}{\alpha}\right)^{\frac{1}{b}}\right)^{\gamma}e^{-y}\frac{1}{\alpha b}\left(\frac{y}{\alpha}\right)^{\frac{1}{b}-1}dy\cmt{y=\alpha x^{b}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha R^{b}}\left(\left(\frac{y^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\right)\right)^{\gamma}e^{-y}\frac{1}{\alpha b}\cdot\frac{y^{\frac{1}{b}-1}}{\alpha^{\frac{1}{b}-1}}dy\cmt{\because0<\frac{y}{\alpha}\land\Arg\left(\alpha\right)\ne-\pi}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha R^{b}}\frac{y^{\frac{\gamma}{b}}}{\alpha^{\frac{\gamma}{b}}}e^{-y}\frac{1}{\alpha b}\cdot\frac{y^{\frac{1}{b}-1}}{\alpha^{\frac{1}{b}-1}}dy\cmt{\because0<\frac{y^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\land\Arg\left(\alpha^{\frac{1}{b}}\right)\ne-\pi}\\ & =\frac{\alpha^{-\frac{1+\gamma}{b}}}{b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}y^{\frac{1+\gamma}{b}-1}e^{-y}dy\\ & =\frac{\alpha^{-\frac{1+\gamma}{b}}}{b}\Gamma\left(\frac{1+\gamma}{b}\right)\cmt{\left|\Arg\left(\alpha\right)\right|<\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{\alpha^{-\frac{1+\gamma}{b}}}{1+\gamma}\Gamma\left(\frac{1+\gamma}{b}+1\right) \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。