べき乗を含む0から∞までの定積分
べき乗を含む0から∞までの定積分
\(\alpha\in\mathbb{C}\)とすると次の定積分が成り立つ。
\[ \Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt \]
\(\alpha\in\mathbb{C}\)とすると次の定積分が成り立つ。
\[ \Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt \]
\begin{align*}
f_{0}^{\infty}x^{5}e^{-2x^{3}}dx & =\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}3}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(2\right)}}\left(\frac{t^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}\right)^{5}e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt\cmt{t=2x^{3}}\\
& =\frac{1}{2^{\frac{1}{3}+\frac{5}{3}}3}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{R}t^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}-1}e^{-t}dt\\
& =\frac{1}{2^{2}3}f_{0}^{\infty}te^{-t}dt\\
& =\frac{1}{12}\Gamma\left(2\right)\\
& =\frac{1}{12}
\end{align*}
\(t=\alpha x^{b}\)とおくと、\(x:0\rightarrow\infty\)なので、\(x^{b}=\left(\frac{t}{\alpha}\right)\)は非負実数であり\(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\)なので\(x=\left(x^{b}\right)^{\frac{1}{b}}=\left(\frac{t}{\alpha}\right)^{\frac{1}{b}}=\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\)となる。
何故なら、
\begin{align*} x^{b} & =\frac{t}{\alpha}\\ & =\frac{\left|t\right|}{\left|\alpha\right|}e^{i\left(\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)\right)} \end{align*} より、ある\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し\(\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)=2n\pi\)となるが、\(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\)なので、\(-\pi<\Arg\left(t\right)\leq\pi,-\pi<\Arg\left(\alpha\right)<\pi\)となるが\(-2\pi<\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)<2\pi\)より、\(\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)=0\)となる。
これより、
\begin{align*} x & =\left(x^{b}\right)^{\frac{1}{b}}\\ & =\left(\frac{\left|t\right|}{\left|\alpha\right|}e^{i\left(\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)\right)}\right)^{\frac{1}{b}}\\ & =\frac{\left|t\right|^{\frac{1}{b}}}{\left|\alpha\right|^{\frac{1}{b}}}\\ & =\frac{\left|t\right|^{\frac{1}{b}}}{\left|\alpha\right|^{\frac{1}{b}}}\left(e^{i\Arg\left(t\right)}\right)^{\frac{1}{b}}\left(e^{i\Arg\left(t\right)}\right)^{-\frac{1}{b}}\\ & =\frac{\left|t\right|^{\frac{1}{b}}}{\left|\alpha\right|^{\frac{1}{b}}}\left(e^{i\Arg\left(t\right)}\right)^{\frac{1}{b}}\left(e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)^{-\frac{1}{b}}\\ & =\frac{\left|t\right|^{\frac{1}{b}}\left(e^{i\Arg\left(t\right)}\right)^{\frac{1}{b}}}{\left|\alpha\right|^{\frac{1}{b}}\left(e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)^{\frac{1}{b}}}\\ & =\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}} \end{align*} となるからである。
従って、
\begin{align*} f_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha R^{b}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)\frac{d}{dt}\left(\left(\frac{t}{\alpha}\right)^{\frac{1}{b}}\right)dt\cmt{t=\alpha x^{b}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|\alpha\right|R^{b}e^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)\frac{t^{\frac{1}{b}-1}}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}dt\\ & =\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt \end{align*} となり、題意は成り立つ。
何故なら、
\begin{align*} x^{b} & =\frac{t}{\alpha}\\ & =\frac{\left|t\right|}{\left|\alpha\right|}e^{i\left(\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)\right)} \end{align*} より、ある\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し\(\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)=2n\pi\)となるが、\(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\)なので、\(-\pi<\Arg\left(t\right)\leq\pi,-\pi<\Arg\left(\alpha\right)<\pi\)となるが\(-2\pi<\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)<2\pi\)より、\(\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)=0\)となる。
これより、
\begin{align*} x & =\left(x^{b}\right)^{\frac{1}{b}}\\ & =\left(\frac{\left|t\right|}{\left|\alpha\right|}e^{i\left(\Arg\left(t\right)-\Arg\left(\alpha\right)\right)}\right)^{\frac{1}{b}}\\ & =\frac{\left|t\right|^{\frac{1}{b}}}{\left|\alpha\right|^{\frac{1}{b}}}\\ & =\frac{\left|t\right|^{\frac{1}{b}}}{\left|\alpha\right|^{\frac{1}{b}}}\left(e^{i\Arg\left(t\right)}\right)^{\frac{1}{b}}\left(e^{i\Arg\left(t\right)}\right)^{-\frac{1}{b}}\\ & =\frac{\left|t\right|^{\frac{1}{b}}}{\left|\alpha\right|^{\frac{1}{b}}}\left(e^{i\Arg\left(t\right)}\right)^{\frac{1}{b}}\left(e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)^{-\frac{1}{b}}\\ & =\frac{\left|t\right|^{\frac{1}{b}}\left(e^{i\Arg\left(t\right)}\right)^{\frac{1}{b}}}{\left|\alpha\right|^{\frac{1}{b}}\left(e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)^{\frac{1}{b}}}\\ & =\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}} \end{align*} となるからである。
従って、
\begin{align*} f_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha R^{b}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)\frac{d}{dt}\left(\left(\frac{t}{\alpha}\right)^{\frac{1}{b}}\right)dt\cmt{t=\alpha x^{b}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|\alpha\right|R^{b}e^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)\frac{t^{\frac{1}{b}-1}}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}dt\\ & =\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt \end{align*} となり、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | べき乗を含む0から∞までの定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/skdbkamp/ |
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ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]
微分・原始関数・定積分・不定積分の定義
\[
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\]
逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
微分の基本公式
\[
\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]