(1)

\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & \leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k} \end{align*}

(2)

\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & \geq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & \leq\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k} \end{align*}

(3)

(1)で\(b_{0}=0\)として、\(a_{n}=b_{n}-b_{n-1}\)とおくと、
\begin{align*} \frac{b_{n}}{n} & =\frac{1}{n}\left(b_{n}-b_{0}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(b_{n}-b_{n-1}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & \leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(b_{k}-b_{k-1}\right) \end{align*}

(4)

(2)で\(b_{0}=0\)として、\(a_{n}=b_{n}-b_{n-1}\)とおくと、
\begin{align*} \frac{b_{n}}{n} & =\frac{1}{n}\left(b_{n}-b_{0}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(b_{n}-b_{n-1}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & \geq\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & =\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(b_{k}-b_{k-1}\right) \end{align*}

(5)

(3)より、
\begin{align*} \sqrt[n]{a_{n}} & =\exp\log\left(\sqrt[n]{a_{n}}\right)\\ & =\exp\left(\frac{1}{n}\log\left(a_{n}\right)\right)\\ & \leq\exp\left(\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(\log\left(a_{k}\right)-\log\left(a_{k-1}\right)\right)\right)\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\exp\left(\log\left(a_{k}\right)-\log\left(a_{k-1}\right)\right)\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\exp\left(\log\frac{a_{k}}{a_{k-1}}\right)\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\frac{a_{k}}{a_{k-1}} \end{align*} となる。
途中で\(\log a_{0}=0\)となるためには\(a_{0}=1\)となる。
従って題意は成り立つ。

(6)

(4)より、
\begin{align*} \sqrt[n]{a_{n}} & =\exp\log\left(\sqrt[n]{a_{n}}\right)\\ & =\exp\left(\frac{1}{n}\log\left(a_{n}\right)\right)\\ & \geq\exp\left(\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(\log\left(a_{k}\right)-\log\left(a_{k-1}\right)\right)\right)\\ & =\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\exp\left(\log\left(a_{k}\right)-\log\left(a_{k-1}\right)\right)\\ & =\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\exp\left(\log\frac{a_{k}}{a_{k-1}}\right)\\ & =\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\frac{a_{k}}{a_{k-1}} \end{align*} となる。
途中で\(\log a_{0}=0\)となるためには\(a_{0}=1\)となる。
従って題意は成り立つ。

(7)

\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{j-1}a_{k}+\frac{1}{n}\sum_{k=j}^{n}a_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{j-1}a_{k}\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=j}^{n}a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{m\geq n}\frac{1}{m}\sum_{k=j}^{m}a_{k}\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{m\geq n}\frac{m-j+1}{m}\sup_{k\geq j}a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq j}a_{k}\\ & =\sup_{k\geq j}a_{k}\\ & =\lim_{j\rightarrow\infty}\sup_{k\geq j}a_{k}\\ & =\limsup_{k\rightarrow\infty}a_{k} \end{align*} 途中で\(j\)は任意なので\(j\rightarrow\infty\)とした。
これより題意は成り立つ。

(7)-2

(11)より、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\right|\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|\sqrt[n]{\exp\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)}\right|\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}\exp\left(a_{k}\right)}\right|\\ & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|\frac{\prod_{k=1}^{n}\exp\left(a_{k}\right)}{\prod_{k=1}^{n-1}\exp\left(a_{k}\right)}\right|\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|e^{a_{n}}\right|\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。

(8)

(7)より、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =-\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right)\\ & \leq-\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(-a_{k}\right)\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} \end{align*} となる。

(9)

\(b_{0}=0\)として\(a_{n}=b_{n}-b_{n-1}\)とおく。
(7)より、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{n}}{n} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(b_{n}-b_{0}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(b_{n}-b_{n-1}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-b_{n-1}\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。

(10)

(9)と同様にすればよい。

(11)

\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{k-1}\prod_{j=k}^{n}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\right)^{\frac{1}{n}}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{k-1}^{\frac{1}{n}}\left(\prod_{j=k}^{n}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\right)^{\frac{1}{n}}\\ & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{k-1}^{\frac{1}{n}}\left(\sup_{j\geq k}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\right)^{\frac{n-k+1}{n}}\\ & =\sup_{j\geq k}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{j\geq k}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \end{align*} となる。
途中で\(k\)は任意なので\(k\rightarrow\infty\)とした。
これより、題意は成り立つ。

(11)-2

(7)より、\(0\leq a_{n}\)なので、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\log\sqrt[n]{a_{n}}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\frac{1}{n}\log a_{n}\right)\\ & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\log a_{n}-\log a_{n-1}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\log\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(12)

(11)と同様にすればよい。