(1)

量化子を表す記号として\(Q\)が使われることもある。
例えば\(QxP\left(x\right)\)と書いて\(\forall xP\left(x\right)\)または\(\exists xP\left(x\right)\)を表す。

(2)

適当な元は適切な元という意味で、何も考えずに選んだ元、言い換えると任意の元という意味ではありません。

(3)

\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow x\in X\land P\left(x\right) \] ではないので注意。
例えば、
\[ \forall x\in\left\{ -1,1\right\} ,1\leq x^{2}\Leftrightarrow x\in\left\{ -1,1\right\} \land1\leq x^{2} \] の左辺は真であるが、右辺は\(x=2\)とすると偽となる。

(4)

\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] ではないので注意。
例えば、
\[ \exists x\in\emptyset,x=1\Leftrightarrow\exists x,x\in\emptyset\rightarrow x=1 \] の左辺は偽であるが、右辺は真となる。

(5)

定義より否定は次のようになる。
\begin{align*} \lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right) & =\lnot\left(\exists x,x\in X\land P\left(x\right)\right)\\ & =\forall x,x\notin X\lor\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x,x\in X\rightarrow\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x\in X,\lnot P\left(x\right) \end{align*}

(6)

\(P\left(x\right)\)となる任意の\(x\in X\)について、\(Q\left(x\right)\)を満たすを量化記号で表すと、\(\forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right)\)となります。
これは、任意の\(x\in X\)について、\(P\left(x\right)\)が真のとき\(Q\left(x\right)\)も真となることを表しているからです。
否定は\(P\left(x\right)\)となるある\(x\in X\)が存在し、\(Q\left(x\right)\)を満たさないとなり、量化記号で表すと、
\begin{align*} \exists x\in X,\lnot\left(P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot\left(\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right) \end{align*} となります。
また、\(P\left(x\right)\)となるある\(x\in X\)が存在し、\(Q\left(x\right)\)を満たすを量化記号で表すと、\(\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\)となります。
これは、ある\(x\in X\)が存在し、\(P\left(x\right)\)かつ\(Q\left(x\right)\)を満たすということを表しているからです。
否定は\(P\left(x\right)\)となる任意の\(x\in X\)について、\(Q\left(x\right)\)を満たさないとなり、量化記号で表すと、
\begin{align*} \forall x\in X,\lnot\left(P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow\lnot Q\left(x\right) \end{align*} となります。

(7)

\(P\left(x\right)\)となる任意の\(x\in X\)について、\(Q\left(x\right)\rightarrow R\left(x\right)\)を満たすを量化記号で表すと、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow\left(Q\left(x\right)\rightarrow R\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\left(\lnot Q\left(x\right)\lor R\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot\left(P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\lor R\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,\left(P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\rightarrow R\left(x\right) \end{align*} となります。