量化記号(全称命題・存在命題)の定義
量化記号(全称命題・存在命題)の定義
集合\(X\)の任意の元\(x\)について命題\(P\)が成り立つときは\(\forall x\in X,P\left(x\right)\)と表す。
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] \[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] \[ \forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{x}P\left(x\right) \] \[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{x\in X}P\left(x\right) \] である。
集合Xの元にxが存在し命題\(P\)が成り立つときは\(\exists x\in X,P\left(x\right)\)と表す。
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,x\in X\land P\left(x\right) \] \[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x\in X\land P\left(x\right) \] \[ \exists x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x}P\left(x\right) \] \[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}P\left(x\right) \] である。
(1)全称命題
任意の\(x\)について命題\(P\)が成り立つとき\(\forall x,P\left(x\right)\)で表す。集合\(X\)の任意の元\(x\)について命題\(P\)が成り立つときは\(\forall x\in X,P\left(x\right)\)と表す。
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] \[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] \[ \forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{x}P\left(x\right) \] \[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{x\in X}P\left(x\right) \] である。
(2)存在命題
ある\(x\)が存在して命題\(P\)が成り立つとき\(\exists x,P\left(x\right)\)で表す。集合Xの元にxが存在し命題\(P\)が成り立つときは\(\exists x\in X,P\left(x\right)\)と表す。
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,x\in X\land P\left(x\right) \] \[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x\in X\land P\left(x\right) \] \[ \exists x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x}P\left(x\right) \] \[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}P\left(x\right) \] である。
(3)唯一存在命題
ただ１つだけ命題\(P\)が成り立つ元\(x\)が存在するときは\(\exists!x,P\left(x\right)\)で表す。量化子を表す記号として\(Q\)が使われることもある。
例えば\(QxP\left(x\right)\)と書いて\(\forall xP\left(x\right)\)または\(\exists xP\left(x\right)\)を表す。
例えば、
\[ \forall x\in\left\{ -1,1\right\} ,1\leq x^{2}\Leftrightarrow x\in\left\{ -1,1\right\} \land1\leq x^{2} \] の左辺は真であるが、右辺は\(x=2\)とすると偽となる。
\begin{align*} \lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right) & =\lnot\left(\exists x,x\in X\land P\left(x\right)\right)\\ & =\forall x,x\notin X\lor\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x,x\in X\rightarrow\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x\in X,\lnot P\left(x\right) \end{align*}
例えば\(QxP\left(x\right)\)と書いて\(\forall xP\left(x\right)\)または\(\exists xP\left(x\right)\)を表す。
-
適当な元は適切な元という意味で、何も考えずに選んだ元、言い換えると任意の元という意味ではありません。-
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow x\in X\land P\left(x\right) \] ではないので注意。例えば、
\[ \forall x\in\left\{ -1,1\right\} ,1\leq x^{2}\Leftrightarrow x\in\left\{ -1,1\right\} \land1\leq x^{2} \] の左辺は真であるが、右辺は\(x=2\)とすると偽となる。
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定義より否定は次のようになる。\begin{align*} \lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right) & =\lnot\left(\exists x,x\in X\land P\left(x\right)\right)\\ & =\forall x,x\notin X\lor\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x,x\in X\rightarrow\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x\in X,\lnot P\left(x\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 量化記号(全称命題・存在命題)の定義 |
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優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R
\]
演算子の作用と包含関係
\[
P\lor Q\Leftarrow P
\]
3つのうち1つを消したものとの包含関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Rightarrow P\lor Q
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]