(1)

\begin{align*} \left(P\land R\right)\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land R\right)\lor Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot R\lor Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right) \end{align*}

(2)

(1)で\(R\)を\(\lnot R\)とすればいい。

(3)

(1)より、
\begin{align*} \left(P\land R\right)\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\land R\right)\rightarrow Q\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right) \end{align*}

(4)

(3)で\(R\)を\(\lnot R\)とすればいい。

(5)

\begin{align*} \left(P\lor R\right)\lor Q & \Leftrightarrow P\lor R\lor Q\\ & \Leftrightarrow P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor R\right) \end{align*}

(6)

\begin{align*} \left(P\leftarrow R\right)\lor Q & \Leftrightarrow P\lor\lnot R\lor Q\\ & \Leftrightarrow P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}

(7)

\begin{align*} \left(P\land R\right)\land Q & \Leftrightarrow P\land R\land Q\\ & \Leftrightarrow P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land R\right) \end{align*}

(8)

\begin{align*} \left(P\nrightarrow R\right)\land Q & \Leftrightarrow P\land\lnot R\land Q\\ & \Leftrightarrow P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}

(9)

\begin{align*} \left(P\leftrightarrow R\right)\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow P\leftrightarrow R\leftrightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}

(10)

\begin{align*} \left(P\nleftrightarrow R\right)\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow R\leftrightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow Q\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}

(11)

\begin{align*} \left(P\lor R\right)\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot R\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}

(12)

\begin{align*} \left(P\leftarrow R\right)\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor\lnot R\right)\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land R\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}

(13)

\begin{align*} \left(P\land R\right)\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot R\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\land R\right) \end{align*}

(14)

\begin{align*} \left(P\nrightarrow R\right)\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land\lnot R\right)\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor R\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}

(15)

\begin{align*} \left(P\leftrightarrow R\right)\nleftrightarrow Q & \Leftrightarrow P\leftrightarrow R\nleftrightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\nleftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}

(16)

\begin{align*} \left(P\nleftrightarrow R\right)\nleftrightarrow Q & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow R\nleftrightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow Q\nleftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}