(1)

「\(A\)であっても\(B\)であるとは限らない」は「\(A\)であるが\(B\)でない場合がある」という意味なので、「ある\(x\)が存在し、\(A\left(x\right)\)は真であるが、\(B\left(x\right)\)は偽である」ということであり、これは「ある\(x\)が存在し、\(A\left(x\right)\)かつ\(\lnot B\left(x\right)\)が成り立つ」ということである。
これより、論理式で表すと、\(\exists x,A\left(x\right)\land\lnot B\left(x\right)\)となる。

(2)

「\(A\)であっても\(B\)であるとは限らない」を論理式で書くと\(\exists x,A\left(x\right)\land\lnot B\left(x\right)\)であるのでこの否定は、
\begin{align*} \lnot\left(\exists x,A\left(x\right)\land\lnot B\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\forall x,\lnot A\left(x\right)\lor B\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x,A\left(x\right)\rightarrow B\left(x\right) \end{align*} となる。
また、これは任意の\(x\)について\(A\left(x\right)\)ならば\(B\left(x\right)\)であるということなので、\(A\)ならば\(B\)ということである。
従って題意は成り立つ。

(3)

\(\exists x,A\left(x\right)\land B\left(x\right)\)は「ある\(x\)が存在し、\(A\left(x\right)\)が真かつ\(B\left(x\right)\)が真である」ということである。
これは「\(A\left(x\right)\)であっても、\(B\left(x\right)\)が成り立たないとは限らない」ということである。
また、「\(B\left(x\right)\)であっても、\(A\left(x\right)\)が成り立たないとは限らない」でも同じである。