(1)

\begin{align*} \exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\bigvee_{x}\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \bigvee_{x}P\left(x\right)\right\} \lor\left\{ \bigvee_{x}Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists xP\lor\exists xQ \end{align*}

(1)-2

\begin{align*} \exists x\left(P\lor Q\right) & \Leftrightarrow\exists x\exists y\left(P\left(x\right)\lor Q\left(y\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists xP\lor\exists xQ \end{align*}

(2)

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \forall x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\bigwedge_{x}\left\{ P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftarrow\left\{ \bigwedge_{x}P\left(x\right)\right\} \lor\left\{ \bigwedge_{x}Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\forall xP\lor\forall xQ \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

逆は成り立たないことを反例で示す。
\[ \forall x\in\left\{ 0,1\right\} ,\left(\left(x=0\right)\lor\left(x=1\right)\right)\nRightarrow\left(\forall x\in\left\{ 0,1\right\} ,x=0\right)\lor\left(\forall x\in\left\{ 0,1\right\} ,x=1\right) \] 左辺は真、右辺は偽となる。
\[ \forall x\in\mathbb{R},\left(\left(0\leq x^{2}<1\right)\lor\left(1\leq x^{2}\right)\right)\nRightarrow\left(\forall x\in\mathbb{R},0\leq x^{2}<1\right)\lor\left(\forall x\in\mathbb{R},1\leq x^{2}\right) \] 左辺は真、右辺は偽となる。
故に逆は一般的に成り立たない。

(2)-2

\begin{align*} \forall x\left(P\lor Q\right) & \Leftrightarrow\forall x\forall y\left(P\left(x\right)\lor Q\left(y\right)\right)\lor\left(x\ne y\right)\\ & \Leftarrow\forall x\forall y\left(P\left(x\right)\lor Q\left(y\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall xP\lor\forall xQ \end{align*}

(3)

(2)の対偶をとると、
\[ \exists x\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\Rightarrow\exists x\lnot P\land\exists x\lnot Q \] \(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に置き換えると、
\[ \exists x\left(P\land Q\right)\Rightarrow\exists xP\land\exists xQ \] 故に与式は成り立つ。
逆が一般的に成り立たないことも同様となる。

(3)-2

\begin{align*} \exists x\left(P\land Q\right) & \Leftrightarrow\bigvee_{x}\left(P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\\ & \Rightarrow\left\{ \bigvee_{x}P\left(x\right)\right\} \land\left\{ \bigvee_{x}Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\land\exists xQ\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

逆は一般的に成り立たないことを反例で示す。
\[ \exists x\in\left\{ 0,1\right\} ,\left(x=0\right)\land\left(x=1\right)\nLeftarrow\left(\exists x\in\left\{ 0,1\right\} ,x=0\right)\land\left(\exists x\in\left\{ 0,1\right\} ,x=1\right) \] 左辺は偽、右辺は真となる。
\[ \exists x\in\mathbb{R},\left(0<x\right)\land\left(x<0\right)\nLeftarrow\left(\exists x\in\mathbb{R},0<x\right)\land\left(\exists x\in\mathbb{R},x<0\right) \] 左辺は偽、右辺は真となる。
故に逆は一般的に成り立たない。

(3)-3

\begin{align*} \exists x\left(P\land Q\right) & \Leftrightarrow\exists x\exists y\left(P\left(x\right)\land Q\left(y\right)\right)\land\left(x=y\right)\\ & \Rightarrow\exists x\exists y\left(P\left(x\right)\land Q\left(y\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\land\exists xQ\left(x\right) \end{align*}

(4)

(1)の対偶をとると、
\[ \forall x\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\Leftrightarrow\forall x\lnot P\land\forall x\lnot Q \] \(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に置き換えると、
\[ \forall x\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow\forall xP\land\forall xQ \] 故に与式は成り立つ。

(4)-2

\begin{align*} \forall x\left(P\land Q\right) & \Leftrightarrow\bigwedge_{x}\left\{ P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \bigwedge_{x}P\left(x\right)\right\} \land\left\{ \bigwedge_{x}Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\forall xP\land\forall xQ \end{align*}

(4)-3

\begin{align*} \forall x\left(P\land Q\right) & \Leftrightarrow\forall x\forall y\left(P\left(x\right)\land Q\left(y\right)\right)\lor\left(x\ne y\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\forall y\left(P\left(x\right)\land Q\left(y\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall xP\land\forall xQ \end{align*}

(5)

(1)で\(\lnot P\)を\(P\)に置き換えると、
\[ \exists x\left(\lnot P\lor Q\right)\Leftrightarrow\exists x\lnot P\lor\exists xQ \] これより、
\[ \exists x\left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\forall xP\rightarrow\exists xQ \] となる。
故に与式は成り立つ。

(5)-2

(1)より、
\begin{align*} \exists x\left(P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\exists x\left(\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\left(\lnot P\left(x\right)\right)\lor\exists xQ\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall xP\left(x\right)\right)\lor\exists xQ\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall xP\left(x\right)\rightarrow\exists xQ\left(x\right) \end{align*}

(6)

(2)で\(\lnot P\)を\(P\)に置き換えると、
\[ \forall x\left(\lnot P\lor Q\right)\Leftarrow\forall x\lnot P\lor\forall xQ \] これより、
\[ \forall x\left(P\rightarrow Q\right)\Leftarrow\exists xP\rightarrow\forall xQ \] となる。
故に与式は成り立つ。
逆が一般的に成り立たないことも同様となる。

(6)-2

(2)より、
\begin{align*} \forall x\left(P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\forall x\left(\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftarrow\forall x\left(\lnot P\left(x\right)\right)\lor\forall xQ\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists xP\left(x\right)\right)\lor\forall xQ\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\rightarrow\forall xQ\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

逆は一般的に成り立たないことを反例で示す。
\begin{align*} \forall x\in\left\{ 0,1\right\} \left(\left(x=0\right)\rightarrow\left(x=0\right)\right) & \nRightarrow\left(\exists x\in\left\{ 0,1\right\} \left(x=0\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in\left\{ 0,1\right\} \left(x=0\right)\right) \end{align*} 左辺は真、右辺は偽となる。
故に逆は一般的に成り立たない。

(7)

(2)の対偶をとると、
\[ \exists x\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\Rightarrow\exists x\lnot P\land\exists x\lnot Q \] これより、
\[ \exists x\left(P\downarrow Q\right)\Rightarrow\forall xP\downarrow\forall x\lnot Q \] 故に与式は成り立つ。
逆が一般的に成り立たないことも同様となる。

(7)-2

(3)より、
\begin{align*} \exists x\left(P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\exists x\left(\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Rightarrow\exists x\left(\lnot P\left(x\right)\right)\land\forall x\left(\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall xP\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall xQ\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall xP\left(x\right)\downarrow\forall xQ\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

逆は一般的に成り立たないことを反例で示す。
\begin{align*} \exists x\in\left\{ 0,1\right\} \left(\left(x=0\right)\downarrow\left(x=1\right)\right) & \nLeftarrow\forall x\in\left\{ 0,1\right\} \left(x=0\right)\downarrow\forall x\in\left\{ 0,1\right\} \left(x=1\right) \end{align*} 左辺は偽、右辺は真となる。
故に逆は一般的に成り立たない。

(8)

(1)の対偶をとると、
\[ \forall x\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\Leftrightarrow\forall x\lnot P\land\forall x\lnot Q \] これより、
\[ \forall x\left(P\downarrow Q\right)\Leftrightarrow\exists xP\downarrow\exists xQ \] 故に与式は成り立つ。

(8)-2

(4)より、
\begin{align*} \forall x\left(P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\forall x\left(\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left(\lnot P\left(x\right)\right)\land\forall x\left(\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists xP\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\exists xQ\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\downarrow\exists xQ\left(x\right) \end{align*}

(9)

(1)で\(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に置き換えると、
\[ \exists x\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\Leftrightarrow\exists x\lnot P\lor\exists x\lnot Q \] これより、
\[ \exists x\left(P\uparrow Q\right)\Leftrightarrow\forall xP\uparrow\forall xQ \] 故に与式は成り立つ。

(9)-2

(1)より、
\begin{align*} \exists x\left(P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\exists x\left(\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\left(\lnot P\left(x\right)\right)\lor\forall x\left(\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall xP\left(x\right)\right)\lor\lnot\left(\forall xQ\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall xP\left(x\right)\uparrow\forall xQ\left(x\right) \end{align*}

(10)

(2)で\(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に置き換えると、
\[ \forall x\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\Leftarrow\forall x\lnot P\lor\forall x\lnot Q \] これより、
\[ \forall x\left(P\uparrow Q\right)\Leftarrow\exists xP\uparrow\exists xQ \] 故に与式は成り立つ。
逆が一般的に成り立たないことも同様となる。

(10)-2

(2)より、
\begin{align*} \forall x\left(P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\forall x\left(\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftarrow\forall x\left(\lnot P\left(x\right)\right)\lor\forall x\left(\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists xP\left(x\right)\right)\lor\lnot\left(\exists xQ\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\uparrow\exists xQ\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

逆は成り立たないことを反例で示す。
\[ \forall x\in\left\{ 0,1\right\} \left(\left(x=0\right)\uparrow\left(x=1\right)\right)\nRightarrow\exists x\in\left\{ 0,1\right\} \left(x=0\right)\uparrow\exists x\in\left\{ 0,1\right\} \left(x=1\right) \] 左辺は真、右辺は偽となる。
故に逆は一般的に成り立たない。

(11)

(2)の対偶をとると、
\[ \exists x\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\Rightarrow\exists x\lnot P\land\exists x\lnot Q \] \(\lnot P\)を\(P\)に置き換えると、
\[ \exists x\left(P\nrightarrow Q\right)\Rightarrow\exists xP\rightarrow\forall xQ \] 故に与式は成り立つ。
逆が一般に成り立たないことも同様となる。

(11)-2

(3)より、
\begin{align*} \exists x\left(P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\exists x\left(P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Rightarrow\exists xP\left(x\right)\land\exists x\left(\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\land\lnot\forall xQ\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\nrightarrow\forall xQ\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例を示す。
\[ \exists x\in\left\{ 0,1\right\} \left(\left(x=0\right)\nrightarrow\left(x=0\right)\right)\nLeftarrow\exists x\in\left\{ 0,1\right\} \left(x=0\right)\nrightarrow\forall x\in\left\{ 0,1\right\} \left(x=0\right) \] 左辺は偽、右辺は真となる。
故に逆は一般的に成り立たない。

(12)

(1)の対偶をとると、
\[ \forall x\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\Leftrightarrow\forall x\lnot P\land\forall x\lnot Q \] \(\lnot P\)を\(P\)に置き換えると、
\[ \forall x\left(P\nrightarrow Q\right)\Leftrightarrow\forall xP\nrightarrow\exists xQ \] 故に与式は成り立つ。

(12)-2

(4)より、
\begin{align*} \forall x\left(P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\forall x\left(P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall xP\left(x\right)\land\forall x\left(\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall xP\left(x\right)\land\lnot\exists xQ\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall xP\left(x\right)\nrightarrow\exists xQ\left(x\right) \end{align*}