(1)

\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \bigvee_{x\in X}P\left(x\right)\right\} \lor\left\{ \bigvee_{x\in X}Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(1)-2

\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\exists y\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(y\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(2)

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Rightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\lor\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\bot\lor\bot\right)\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(3)

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)} \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\lor\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\bot\lor\bot\right)\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(4)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\Rightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)} \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\lor\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\top\lor\bot\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(5)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\land\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\\ & \Leftarrow\lnot\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\cmt{\because X\ne\emptyset}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\bot,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\lor x=1\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\lor\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\lor\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(6)

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bigwedge_{x\in X}\left\{ P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftarrow\left\{ \bigwedge_{x\in X}P\left(x\right)\right\} \lor\left\{ \bigwedge_{x\in X}Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=2\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\lor x=2\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\lor\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=2\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
また、
\begin{align*} \forall x\in\mathbb{R},\left(\left(0\leq x^{2}<1\right)\lor\left(1\leq x^{2}\right)\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\mathbb{R},0\leq x^{2}<1\right)\lor\left(\forall x\in\mathbb{R},1\leq x^{2}\right) \end{align*} である。
従って逆は一般的に成り立たない。

(6)-2

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\forall y\in X,\left(P\left(x\right)\lor Q\left(y\right)\right)\lor\left(x\ne y\right)\\ & \Leftarrow\forall x\in x,\forall y\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(y\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(7)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \exists x\in X,P\land Q & \Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}\left(P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\\ & \Rightarrow\left\{ \bigvee_{x\in X}P\left(x\right)\right\} \land\left\{ \bigvee_{x\in X}Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=2\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\land x=2\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\land\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=2\right)\\ & \Leftrightarrow\top\land\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
また、
\begin{align*} \exists x\in\mathbb{R},\left(0<x\right)\land\left(x<0\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\mathbb{R},0<x\right)\land\left(\exists x\in\mathbb{R},x<0\right) \end{align*} 従って逆は一般的に成り立たない。

(7)-2

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \exists x\in X,P\land Q & \Leftrightarrow\exists x\in X,\exists y\in X,\left(P\left(x\right)\land Q\left(y\right)\right)\land\left(x=y\right)\\ & \Rightarrow\exists x\in X,\exists y\in X,P\left(x\right)\land Q\left(y\right)\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(7)-3

\(\Rightarrow\)

(6)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Rightarrow\lnot\left(\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(8)

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because X\ne\emptyset}\\ & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)} \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\land x=1\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\land\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(9)

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because X\ne\emptyset}\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because X\ne\emptyset}\\ & \Rightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\top\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\land\top\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\land\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\land\top\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(10)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Rightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\top\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\land\top\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\land\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\land\top\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(11)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)} \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\top,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\land x=1\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\land\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\land\top\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nRightarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(12)

\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bigwedge_{x\in X}\left\{ P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \bigwedge_{x\in X}P\left(x\right)\right\} \land\left\{ \bigwedge_{x\in X}Q\left(x\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(12)-2

\(\Rightarrow\)のみ示す。
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\forall y\in X,\left(P\left(x\right)\land Q\left(y\right)\right)\lor\left(x\ne y\right)\\ & \Rightarrow\forall x\in X,\forall y\in X,P\left(x\right)\land Q\left(y\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\land\forall x\in X,Q\left(x\right) \end{align*}

(12)-3

(1)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\land Q & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,\lnot P\lor\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(13)

\(\Rightarrow\)

(2)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\rightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\rightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\rightarrow\bot\right)\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(14)

\(\Leftarrow\)

(3)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\top,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\rightarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\rightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\rightarrow\bot\right)\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(15)

(1)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(16)

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because X\ne\emptyset}\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\top,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\rightarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\rightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\rightarrow\bot\right)\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(17)

\(\Rightarrow\)

(5)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\top,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\rightarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\rightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\\ & \Leftrightarrow\top\rightarrow\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(18)

\(\Leftarrow\)

(6)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\rightarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\rightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\\ & \Leftrightarrow\top\rightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(19)

\(\Rightarrow\)

(4)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\top,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\rightarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\rightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\rightarrow\top\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(20)

\(\Rightarrow\)

(5)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\rightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\rightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\rightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(21)

\(\Leftarrow\)

(9)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\left(\because\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\downarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\downarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\downarrow\bot\right)\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(22)

\(\Leftarrow\)

(8)より、

\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\downarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\downarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\\ & \Leftrightarrow\top\downarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(23)

\(\Rightarrow\)

(7)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=2\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\downarrow x=2\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\downarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=2\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\downarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(24)

(12)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(25)

\(\Rightarrow\)

(11)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\bot,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\downarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\downarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\bot\downarrow\bot\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(26)

\(\Rightarrow\)

(10)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\downarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\downarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\bot\downarrow\bot\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(27)

\(\Leftarrow\)

(3)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\top\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\uparrow\top\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\uparrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\uparrow\top\right)\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(28)

\(\Rightarrow\)

(2)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot\left(P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\top\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\uparrow\top\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\uparrow\left(\forall x\in X,\top\right)\right)\land\left(\left\{ 1,2\right\} \ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\uparrow\top\right)\land\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(29)

(1)より、
\begin{align*} \exists x\in XP\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(30)

\(\Leftarrow\)

(6)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\lnot\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=2\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\uparrow x=2\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\uparrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=2\right)\\ & \Leftrightarrow\top\uparrow\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(31)

\(\Rightarrow\)

(5)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot\left(P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\top,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\uparrow x=1\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\uparrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\\ & \Leftrightarrow\top\uparrow\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(32)

\(\Rightarrow\)

(4)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\top\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\uparrow\top\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\uparrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\bot\uparrow\top\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(33)

\(\Leftarrow\)

(8)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\top,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\nrightarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\nrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\\ & \Leftrightarrow\top\nrightarrow\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(34)

\(\Rightarrow\)

(7)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\nrightarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\land\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\right)\\ & \Leftrightarrow\top\land\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(35)

\(\Rightarrow\)

(7)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\nrightarrow x=1\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\nrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\\ & \Leftrightarrow\top\nrightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(36)

\(\Rightarrow\)

(8)より、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\nrightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\nrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\\ & \Leftrightarrow\bot\nrightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\top\\ & \nRightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(37)

\(\Rightarrow\)

(11)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Rightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\nrightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\nrightarrow\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\nrightarrow\bot\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(38)

\(\Rightarrow\)

(10)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Rightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Rightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow x=1,Q\left(x\right)\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\nrightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\nrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\bot\right)\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\nrightarrow\bot\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(39)

(12)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\cmt{\because\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right) \end{align*}

(40)

\(\Rightarrow\)

(11)より、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\land\lnot Q\left(x\right)\right)\\ & \Rightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,\lnot Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\cmt{\because\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\Rightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(\exists x\in X,Q\left(x\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land\lnot\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(P\left(x\right)\Leftrightarrow\top,Q\left(x\right)\Leftrightarrow x=1\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\nrightarrow x=1\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x\ne1\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} \begin{align*} \left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,\top\right)\nrightarrow\left(\forall x\in\left\{ 1,2\right\} ,x=1\right)\right)\lor\left(\left\{ 1,2\right\} =\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\top\nrightarrow\bot\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} となるので、
\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\left(x\right) & \Leftrightarrow\bot\\ & \nLeftarrow\top\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow\left(\forall x\in X,Q\left(x\right)\right)\right)\lor\left(X=\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。