分配法則一覧

分配法則一覧
\(P,Q,R\)は命題変数とする。

(1)重要

\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]

(2)

\[ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \]

(3)重要

\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]

(4)

\[ P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \]

(5)

\[ P\rightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]

(6)

\[ P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \]

(7)

\[ P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]

(8)

\[ P\nleftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]

(1)

\begin{align*} P\lor\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\begin{cases} Q\land R & P\leftrightarrow0\\ 1 & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) & P\leftrightarrow0\\ \left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}

(2)

(1)より、

\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\left(\lnot Q\lor R\right)\land\left(Q\lor\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\lor R\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right)\land\left(P\lor Q\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(P\lor R\right)\lor\lnot\left(P\lor Q\right)\right)\land\left(\left(P\lor Q\right)\lor\lnot\left(P\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

(3)

(1)の対偶をとると、

\[ \lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right) \]

\(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に、\(\lnot R\)を\(R\)に置き換えると、

\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]

となる。

(4)

(2)の対偶をとると、

\[ \lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot R\right) \]

\(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に、\(\lnot R\)を\(R\)に置き換えると、

\[ P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \]

(5)

(1)より、

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

(6)

(3)より

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

(7)

(1)より、

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(8)

(3)より、

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

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https://www.nomuramath.com/erc8eon9/

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