分配法則一覧
分配法則一覧
\(P,Q,R\)は命題変数とする。
(1)重要
\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]
(2)
\[ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \]
(3)重要
\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]
(4)
\[ P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \]
(5)
\[ P\rightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]
(6)
\[ P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \]
(7)
\[ P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]
(8)
\[ P\nleftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]
(1)
\begin{align*} P\lor\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\begin{cases} Q\land R & P\leftrightarrow0\\ 1 & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) & P\leftrightarrow0\\ \left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}
(2)
(1)より、
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\left(\lnot Q\lor R\right)\land\left(Q\lor\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\lor R\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right)\land\left(P\lor Q\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(P\lor R\right)\lor\lnot\left(P\lor Q\right)\right)\land\left(\left(P\lor Q\right)\lor\lnot\left(P\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
(3)
(1)の対偶をとると、
\[ \lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right) \]
\(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に、\(\lnot R\)を\(R\)に置き換えると、
\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]
となる。
(4)
(2)の対偶をとると、
\[ \lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot R\right) \]
\(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に、\(\lnot R\)を\(R\)に置き換えると、
\[ P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \]
(5)
(1)より、
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
(6)
(3)より
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
(7)
(1)より、
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(8)
(3)より、
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
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