論理積・条件・同値の違い

(1)

\[ A\leftrightarrow B\land B\leftrightarrow C\Leftrightarrow A\leftrightarrow B\land A\leftrightarrow C \]

(2)

\[ A\leftrightarrow B\rightarrow B\leftrightarrow C\Leftrightarrow A\leftrightarrow B\rightarrow A\leftrightarrow C \]

(3)

\[ A\leftrightarrow B\lor B\leftrightarrow C\Leftrightarrow A\leftrightarrow B\lor A\leftrightarrow C \] は一般的に成り立たない。

(4)

\[ A\leftrightarrow B\leftrightarrow B\leftrightarrow C\Leftrightarrow A\leftrightarrow B\leftrightarrow A\leftrightarrow C \] は一般的に成り立たない。

(5)

\[ A\nleftrightarrow B\lor B\nleftrightarrow C\Leftrightarrow A\nleftrightarrow B\lor A\nleftrightarrow C \]

(6)

\[ A\nleftrightarrow B\nrightarrow B\nleftrightarrow C\Leftrightarrow A\nleftrightarrow B\nrightarrow A\nleftrightarrow C \]

(7)

\[ A\nleftrightarrow B\land B\nleftrightarrow C\Leftrightarrow A\nleftrightarrow B\land A\nleftrightarrow C \] は一般的に成り立たない。

(8)

\[ A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C\Leftrightarrow A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow A\nleftrightarrow C \] は一般的に成り立たない。

(1)

\begin{align*} A\leftrightarrow B\land B\leftrightarrow C & \Leftrightarrow\begin{cases} B\leftrightarrow C & A\leftrightarrow B\\ \bot & A\nleftrightarrow B \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} A\leftrightarrow C & A\leftrightarrow B\\ A\leftrightarrow B & A\nleftrightarrow B \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} A\leftrightarrow B\land A\leftrightarrow C & A\leftrightarrow B\\ A\leftrightarrow B\land A\leftrightarrow C & A\nleftrightarrow B \end{cases}\\ & \Leftrightarrow A\leftrightarrow B\land A\leftrightarrow C \end{align*}

(2)

\begin{align*} A\leftrightarrow B\rightarrow B\leftrightarrow C & \Leftrightarrow\lnot\left(A\leftrightarrow B\right)\lor B\leftrightarrow C\\ & \Leftrightarrow A\nleftrightarrow B\lor B\leftrightarrow C\\ & \Leftrightarrow A\nleftrightarrow B\lor\left(A\leftrightarrow B\land B\leftrightarrow C\right)\\ & \Leftrightarrow A\nleftrightarrow B\lor\left(A\leftrightarrow B\land A\leftrightarrow C\right)\\ & \Leftrightarrow A\nleftrightarrow B\lor A\leftrightarrow C\\ & \Leftrightarrow A\leftrightarrow B\rightarrow A\leftrightarrow C \end{align*}

(3)

反例で示す。
\(A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow C\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は\(\bot\leftrightarrow\top\lor\top\leftrightarrow\top\Leftrightarrow\top\)となるので真、右辺は\(\bot\leftrightarrow\top\lor\top\leftrightarrow\bot\Leftrightarrow\bot\)となり偽となり、左辺と右辺は異なる。
従って一般的に\(\Leftrightarrow\)は成り立たない。

(4)

反例で示す。
\(A\leftrightarrow\bot,B\leftrightarrow C\leftrightarrow\top\)とすると、左辺は\(\bot\leftrightarrow\top\leftrightarrow\top\leftrightarrow\top\Leftrightarrow\bot\)となるので偽、右辺は\(\bot\leftrightarrow\top\leftrightarrow\bot\leftrightarrow\bot\Leftrightarrow\top\)となり真となり、左辺と右辺は異なる。
従って一般的に\(\Leftrightarrow\)は成り立たない。

(5)

(1)の両辺の否定をとればいい。

(6)

(2)の両辺の否定をとればいい。

(7)

(3)の両辺の否定をとればいい。

(8)

(4)の両辺の否定をとればいい。