3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\(P,Q,R\)は命題変数とする。
(1)結合法則
\[ P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \]
(2)分配法則
\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]
(3)
\[ P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \]
(4)結合法則
\[ P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \]
(5)分配法則
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(6)
\[ P\lor\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]
(7)
\[ P\lor\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \]
(8)
\[ P\lor\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]
(9)
\[ P\lor\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]
(10)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(11)分配法則
\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]
(12)結合法則
\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \]
(13)
\[ P\land\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]
(14)
\[ P\land\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \]
(15)
\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(16)
\[ P\land\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \]
(17)
\[ P\land\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \]
(18)結合法則
\[ P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \]
(19)
\[ P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \]
(20)分配法則
\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(21)結合法則
\[ P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \]
(22)分配法則
\[ P\rightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]
(23)
\[ P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \]
(24)結合法則
\[ P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \]
(25)分配法則
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(26)
\[ P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \]
(27)
\[ P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \]
(28)
\[ P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \]
(29)
\[ P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]
(30)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(31)分配法則
\[ P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]
(32)
\[ P\leftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \]
(33)
\[ P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]
(34)
\[ P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]
(35)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(36)
\[ P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \]
(37)
\[ P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]
(38)
\[ P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \]
(39)
\[ P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \]
(40)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(41)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(42)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(43)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(44)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(45)結合法則
\[ P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \]
(46)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(47)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(48)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(49)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \end{align*}
(50)結合法則
\[ P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \]
(51)
\[ P\downarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \]
(52)
\[ P\downarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \]
(53)
\[ P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\downarrow R \]
(54)
\[ P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \]
(55)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(56)
\[ P\downarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]
(57)
\[ P\downarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \]
(58)
\[ P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]
(59)
\[ P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \]
(60)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(61)
\[ P\uparrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \]
(62)
\[ P\uparrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \]
(63)
\[ P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \]
(64)
\[ P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]
(65)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(66)
\[ P\uparrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \]
(67)
\[ P\uparrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]
(68)
\[ P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \]
(69)
\[ P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \]
(70)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(71)
\[ P\nrightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \]
(72)
\[ P\nrightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \]
(73)
\[ P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \]
(74)
\[ P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \]
(75)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(76)
\[ P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]
(77)
\[ P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \]
(78)
\[ P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]
(79)
\[ P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \]
(80)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(81)分配法測
\[ P\nleftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]
(82)結合法則
\[ P\nleftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \]
(83)
\[ P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]
(84)
\[ P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \]
(85)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(86)
\[ P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \]
(87)
\[ P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \]
(88)結合法則
\[ P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \]
(89)
\[ P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \]
(90)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(91)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(92)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(93)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(94)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(95)結合法則
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \]
(96)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(97)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(98)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(99)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(100)結合法則
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \]
(1)
結合律より、
\[ P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\lor Q\lor R \]
(2)
\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]
(3)
\begin{align*} P\lor\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \end{align*}
(4)
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}
(5)
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\left(\lnot Q\lor R\right)\land\left(Q\lor\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\lor R\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right)\land\left(P\lor Q\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(P\lor R\right)\lor\lnot\left(P\lor Q\right)\right)\land\left(\left(P\lor Q\right)\lor\lnot\left(P\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
\(Q\)を\(\lnot Q\)にして\(R\)を\(\lnot R\)にしても成り立つので、
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(5)-2
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\left\{ \left(Q\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot Q\land R\right)\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\land\left(Q\land\lnot R\right)\right)\lor\left(\lnot P\land\left(\lnot Q\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(\lnot P\land Q\right)\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot Q\land\left(\lnot P\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(\lnot P\land Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\right)\lor\left(\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(P\nleftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right)\lor\left(\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\nleftarrow R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(P\nleftarrow Q\right)\land\lnot\left(P\nleftarrow R\right)\right)\lor\left(\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)\land\left(P\nleftarrow R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\nleftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(6)
\begin{align*} P\lor\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(7)
\begin{align*} P\lor\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}
(8)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(9)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}
(10)
(5)より、
\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(11)
分配律より、
\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]
(12)
結合律より、
\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\land Q\land R \]
(13)
\begin{align*} P\land\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(14)
\begin{align*} P\land\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(15)
(5)より、
\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(16)
\begin{align*} P\land\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}
(17)
\begin{align*} P\land\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(18)
\begin{align*} P\land\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}
(19)
\begin{align*} P\land\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \end{align*}
(20)
(5)より、
\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(21)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}
(22)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
(23)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \end{align*}
(24)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}
(25)
(5)より、
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(26)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(27)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}
(28)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(29)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
(30)
(5)より、
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(31)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(32)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}
(33)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(34)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}
(35)
(5)より、
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(36)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \end{align*}
(37)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}
(38)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \end{align*}
(39)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}
(40)
(5)より、
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(41)
(21)(31)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\right)\land\left(P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\lor R\right\} \land\left\{ \left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left\{ R\land\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left\{ R\land P\land\left(P\leftarrow Q\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(41)-2
直接導出する場合は、分配法則を使えば出せる。
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left\{ \left(P\leftarrow R\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left\{ \lnot R\lor P\lor\left(P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot R\lor P\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(42)
(41)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\downarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(43)
(41)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(44)
(41)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(45)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \lor\left\{ \lnot P\land\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\lnot\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\left\{ \left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\land\left(Q\lor R\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\left\{ \left(\lnot Q\land R\right)\lor\left(\lnot R\land Q\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\land R\right)\lor\left(P\land\lnot Q\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\land R\right)\lor\left(\lnot P\land Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right\} \land R\right\} \lor\left\{ \left\{ \left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land Q\right)\right\} \land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land R\right\} \lor\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land R\right\} \lor\left\{ \lnot\left(P\leftrightarrow Q\right)\land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \end{align*}
(46)
(41)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(47)
(41)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(48)
(41)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(49)
(41)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \end{align*}
(50)
(45)より、
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \end{align*}
(51)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}
(52)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(53)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftarrow\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\downarrow R \end{align*}
(54)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \end{align*}
(55)
(5)より、
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(56)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(57)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}
(58)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(59)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(60)
(5)より、
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(61)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(62)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}
(63)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(64)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
(65)
(5)より、
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(66)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}
(67)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
(68)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \end{align*}
(69)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}
(70)
(5)より、
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(71)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}
(72)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(73)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}
(74)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \end{align*}
(75)
(5)より、
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(76)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(77)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \end{align*}
(78)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(79)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(80)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(81)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(82)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}
(83)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(84)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(85)
(5)より、
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(86)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}
(87)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(88)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}
(89)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \end{align*}
(90)
(5)より、
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(91)
(41)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(92)
(41)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(93)
(41)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(94)
(41)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\downarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(95)
(45)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \end{align*}
(96)
(41)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(97)
(41)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(98)
(41)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(99)
(41)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*}
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(100)
(45)より、
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \end{align*}
ページ情報
タイトル | 3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン |
URL | https://www.nomuramath.com/mjzewm4z/ |
SNSボタン |