3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\(P,Q,R\)は命題変数とする。
\(P,Q,R\)は命題変数とする。
(1)結合法則
\[ P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \](2)分配法則
\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \](3)
\[ P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \](4)結合法則
\[ P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \](5)分配法則
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(6)
\[ P\lor\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \](7)
\[ P\lor\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \](8)
\[ P\lor\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \](9)
\[ P\lor\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \](10)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(11)分配法則
\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \](12)結合法則
\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \](13)
\[ P\land\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \](14)
\[ P\land\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \](15)
\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}(16)
\[ P\land\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \](17)
\[ P\land\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \](18)結合法則
\[ P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \](19)
\[ P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \](20)分配法則
\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}(21)結合法則
\[ P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \](22)分配法則
\[ P\rightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \](23)
\[ P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \](24)結合法則
\[ P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \](25)分配法則
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}(26)
\[ P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \](27)
\[ P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \](28)
\[ P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \](29)
\[ P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \](30)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}(31)分配法則
\[ P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \](32)
\[ P\leftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \](33)
\[ P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \](34)
\[ P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \](35)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(36)
\[ P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \](37)
\[ P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \](38)
\[ P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \](39)
\[ P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \](40)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(41)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(42)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}(43)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}(44)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}(45)結合法則
\[ P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \](46)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(47)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}(48)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(49)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \end{align*}(50)結合法則
\[ P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \](51)
\[ P\downarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \](52)
\[ P\downarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \](53)
\[ P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\downarrow R \](54)
\[ P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \](55)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(56)
\[ P\downarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \](57)
\[ P\downarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \](58)
\[ P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \](59)
\[ P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \](60)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(61)
\[ P\uparrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \](62)
\[ P\uparrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \](63)
\[ P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \](64)
\[ P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \](65)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}(66)
\[ P\uparrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \](67)
\[ P\uparrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \](68)
\[ P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \](69)
\[ P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \](70)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}(71)
\[ P\nrightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \](72)
\[ P\nrightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \](73)
\[ P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \](74)
\[ P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \](75)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}(76)
\[ P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \](77)
\[ P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \](78)
\[ P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \](79)
\[ P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \](80)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}(81)分配法測
\[ P\nleftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \](82)結合法則
\[ P\nleftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \](83)
\[ P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \](84)
\[ P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \](85)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(86)
\[ P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \](87)
\[ P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \](88)結合法則
\[ P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \](89)
\[ P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \](90)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(91)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(92)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}(93)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(94)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}(95)結合法則
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \](96)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}(97)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}(98)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(99)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}(100)結合法則
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \](1)
結合律より、\[ P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\lor Q\lor R \]
(2)
\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \](3)
\begin{align*} P\lor\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \end{align*}(4)
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}(5)
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\left(\lnot Q\lor R\right)\land\left(Q\lor\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\lor R\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right)\land\left(P\lor Q\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(P\lor R\right)\lor\lnot\left(P\lor Q\right)\right)\land\left(\left(P\lor Q\right)\lor\lnot\left(P\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*} \(Q\)を\(\lnot Q\)にして\(R\)を\(\lnot R\)にしても成り立つので、\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(5)-2
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\left\{ \left(Q\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot Q\land R\right)\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\land\left(Q\land\lnot R\right)\right)\lor\left(\lnot P\land\left(\lnot Q\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(\lnot P\land Q\right)\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot Q\land\left(\lnot P\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(\lnot P\land Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\right)\lor\left(\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(P\nleftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right)\lor\left(\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\nleftarrow R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(P\nleftarrow Q\right)\land\lnot\left(P\nleftarrow R\right)\right)\lor\left(\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)\land\left(P\nleftarrow R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\nleftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(6)
\begin{align*} P\lor\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(7)
\begin{align*} P\lor\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}(8)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(9)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}(10)
(5)より、\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(11)
分配律より、\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]
(12)
結合律より、\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\land Q\land R \]
(13)
\begin{align*} P\land\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}(14)
\begin{align*} P\land\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}(15)
(5)より、\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(16)
\begin{align*} P\land\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}(17)
\begin{align*} P\land\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}(18)
\begin{align*} P\land\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}(19)
\begin{align*} P\land\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \end{align*}(20)
(5)より、\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(21)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}(22)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}(23)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \end{align*}(24)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}(25)
(5)より、\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(26)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}(27)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}(28)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}(29)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}(30)
(5)より、\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(31)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(32)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}(33)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}(34)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}(35)
(5)より、\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(36)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \end{align*}(37)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}(38)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \end{align*}(39)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}(40)
(5)より、\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(41)
(21)(31)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\right)\land\left(P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\lor R\right\} \land\left\{ \left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left\{ R\land\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left\{ R\land P\land\left(P\leftarrow Q\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(41)-2
直接導出する場合は、分配法則を使えば出せる。\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left\{ \left(P\leftarrow R\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left\{ \lnot R\lor P\lor\left(P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot R\lor P\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(42)
(41)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\downarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(43)
(41)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(44)
(41)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(45)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \lor\left\{ \lnot P\land\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\lnot\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\left\{ \left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\land\left(Q\lor R\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\left\{ \left(\lnot Q\land R\right)\lor\left(\lnot R\land Q\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\land R\right)\lor\left(P\land\lnot Q\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\land R\right)\lor\left(\lnot P\land Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right\} \land R\right\} \lor\left\{ \left\{ \left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land Q\right)\right\} \land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land R\right\} \lor\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land R\right\} \lor\left\{ \lnot\left(P\leftrightarrow Q\right)\land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \end{align*}(46)
(41)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(47)
(41)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(48)
(41)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(49)
(41)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \end{align*}
(50)
(45)より、\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \end{align*}
(51)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}(52)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}(53)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftarrow\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\downarrow R \end{align*}(54)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \end{align*}(55)
(5)より、\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(56)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(57)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}(58)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(59)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}(60)
(5)より、\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(61)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}(62)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}(63)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}(64)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}(65)
(5)より、\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(66)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}(67)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}(68)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \end{align*}(69)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}(70)
(5)より、\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}
(71)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}(72)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}(73)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}(74)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \end{align*}(75)
(5)より、\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}
(76)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}(77)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \end{align*}(78)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}(79)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}(80)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}(81)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(82)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}(83)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}(84)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}(85)
(5)より、\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(86)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}(87)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}(88)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}(89)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \end{align*}(90)
(5)より、\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(91)
(41)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(92)
(41)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(93)
(41)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
(94)
(41)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\downarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(95)
(45)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \end{align*}
(96)
(41)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}
(97)
(41)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}
(98)
(41)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(99)
(41)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}
(100)
(45)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン |
| URL | https://www.nomuramath.com/mjzewm4z/ |
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存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[
\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]
3つのうち1つを消したものとの包含関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Rightarrow P\lor Q
\]
優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R
\]