3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン

3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\(P,Q,R\)は命題変数とする。

(1)結合法則

\[ P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \]

(2)分配法則

\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]

(3)

\[ P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \]

(4)結合法則

\[ P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \]

(5)分配法則

\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(6)

\[ P\lor\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]

(7)

\[ P\lor\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \]

(8)

\[ P\lor\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]

(9)

\[ P\lor\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]

(10)

\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(11)分配法則

\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]

(12)結合法則

\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \]

(13)

\[ P\land\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]

(14)

\[ P\land\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \]

(15)

\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(16)

\[ P\land\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(17)

\[ P\land\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \]

(18)結合法則

\[ P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \]

(19)

\[ P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \]

(20)分配法則

\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(21)結合法則

\[ P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \]

(22)分配法則

\[ P\rightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]

(23)

\[ P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \]

(24)結合法則

\[ P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \]

(25)分配法則

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(26)

\[ P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \]

(27)

\[ P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \]

(28)

\[ P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \]

(29)

\[ P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]

(30)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(31)分配法則

\[ P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]

(32)

\[ P\leftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \]

(33)

\[ P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \]

(34)

\[ P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]

(35)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(36)

\[ P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \]

(37)

\[ P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]

(38)

\[ P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \]

(39)

\[ P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \]

(40)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(41)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(42)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(43)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}

(44)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(45)結合法則

\[ P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \]

(46)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(47)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(48)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(49)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \end{align*}

(50)結合法則

\[ P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \]

(51)

\[ P\downarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(52)

\[ P\downarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \]

(53)

\[ P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\downarrow R \]

(54)

\[ P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \]

(55)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(56)

\[ P\downarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]

(57)

\[ P\downarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \]

(58)

\[ P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]

(59)

\[ P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \]

(60)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(61)

\[ P\uparrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \]

(62)

\[ P\uparrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \]

(63)

\[ P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \]

(64)

\[ P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]

(65)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(66)

\[ P\uparrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \]

(67)

\[ P\uparrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \]

(68)

\[ P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \]

(69)

\[ P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \]

(70)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(71)

\[ P\nrightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(72)

\[ P\nrightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \]

(73)

\[ P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \]

(74)

\[ P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \]

(75)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(76)

\[ P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]

(77)

\[ P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \]

(78)

\[ P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]

(79)

\[ P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \]

(80)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(81)分配法測

\[ P\nleftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]

(82)結合法則

\[ P\nleftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \]

(83)

\[ P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \]

(84)

\[ P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \]

(85)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(86)

\[ P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(87)

\[ P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \]

(88)結合法則

\[ P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(89)

\[ P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \]

(90)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(91)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(92)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(93)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(94)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(95)結合法則

\[ P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \]

(96)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}

(97)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(98)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(99)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(100)結合法則

\[ P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \]

(1)

結合律より、

\[ P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\lor Q\lor R \]

(2)

\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \]

(3)

\begin{align*} P\lor\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(4)

\begin{align*} P\lor\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(5)

\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\left(\lnot Q\lor R\right)\land\left(Q\lor\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\lor R\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right)\land\left(P\lor Q\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(P\lor R\right)\lor\lnot\left(P\lor Q\right)\right)\land\left(\left(P\lor Q\right)\lor\lnot\left(P\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

\(Q\)を\(\lnot Q\)にして\(R\)を\(\lnot R\)にしても成り立つので、

\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(5)-2

\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\left\{ \left(Q\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot Q\land R\right)\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\land\left(Q\land\lnot R\right)\right)\lor\left(\lnot P\land\left(\lnot Q\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(\lnot P\land Q\right)\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot Q\land\left(\lnot P\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(\lnot P\land Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\right)\lor\left(\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\land R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(P\nleftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right)\lor\left(\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\nleftarrow R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\left(P\nleftarrow Q\right)\land\lnot\left(P\nleftarrow R\right)\right)\lor\left(\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)\land\left(P\nleftarrow R\right)\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\nleftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(6)

\begin{align*} P\lor\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(7)

\begin{align*} P\lor\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(8)

\begin{align*} P\lor\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(9)

\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}

(10)

(5)より、

\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(11)

分配律より、

\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \]

(12)

結合律より、

\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\land Q\land R \]

(13)

\begin{align*} P\land\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}

(14)

\begin{align*} P\land\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(15)

(5)より、

\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(16)

\begin{align*} P\land\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(17)

\begin{align*} P\land\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(18)

\begin{align*} P\land\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(19)

\begin{align*} P\land\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \end{align*}

(20)

(5)より、

\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(21)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(22)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

(23)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \end{align*}

(24)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(25)

(5)より、

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(26)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(27)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(28)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(29)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

(30)

(5)より、

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(31)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(32)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(33)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(34)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}

(35)

(5)より、

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(36)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \end{align*}

(37)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}

(38)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(39)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(40)

(5)より、

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(41)

(21)(31)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\right)\land\left(P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\lor R\right\} \land\left\{ \left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left\{ R\land\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left\{ R\land P\land\left(P\leftarrow Q\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(41)-2

直接導出する場合は、分配法則を使えば出せる。

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left\{ \left(P\leftarrow R\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left\{ \lnot R\lor P\lor\left(P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot R\lor P\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(42)

(41)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\downarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(43)

(41)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}

(44)

(41)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(45)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \lor\left\{ \lnot P\land\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\lnot\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\left\{ \left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\land\left(Q\lor R\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left\{ \left(Q\land R\right)\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\right\} \right\} \lor\left\{ \lnot P\land\left\{ \left(\lnot Q\land R\right)\lor\left(\lnot R\land Q\right)\right\} \right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\land R\right)\lor\left(P\land\lnot Q\land\lnot R\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\land R\right)\lor\left(\lnot P\land Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right\} \land R\right\} \lor\left\{ \left\{ \left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land Q\right)\right\} \land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land R\right\} \lor\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land R\right\} \lor\left\{ \lnot\left(P\leftrightarrow Q\right)\land\lnot R\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \end{align*}

(46)

(41)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(47)

(41)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(48)

(41)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(49)

(41)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \end{align*}

(50)

(45)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \end{align*}

(51)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(52)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(53)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftarrow\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\downarrow R \end{align*}

(54)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \end{align*}

(55)

(5)より、

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(56)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(57)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}

(58)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(59)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(60)

(5)より、

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(61)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(62)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(63)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(64)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

(65)

(5)より、

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(66)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(67)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

(68)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \end{align*}

(69)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(70)

(5)より、

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(71)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(72)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(73)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(74)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \end{align*}

(75)

(5)より、

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

(76)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}

(77)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \end{align*}

(78)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right) \end{align*}

(79)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(80)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\rightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \end{align*}

(81)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(82)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}

(83)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(84)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(85)

(5)より、

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(\lnot Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(\lnot Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow\lnot Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(86)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(87)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(88)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(89)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \end{align*}

(90)

(5)より、

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(\lnot Q\nleftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nleftrightarrow\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(91)

(41)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(92)

(41)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(93)

(41)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\land R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}

(94)

(41)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(\lnot P\downarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(95)

(45)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \end{align*}

(96)

(41)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\uparrow R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\uparrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\leftarrow R\right)\right\} \land\left(P\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}

(97)

(41)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(\lnot P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\downarrow R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \land\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \lor\left(P\downarrow R\right) \end{align*}

(98)

(41)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(P\land R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\land\left(\lnot P\leftarrow R\right)\right\} \lor\left(\lnot P\land R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\uparrow R\right)\right\} \lor\left(P\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}

(99)

(41)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\land\lnot R\right)\right\} \land\left(P\leftarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\lor\left(P\nrightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(P\lor R\right) \end{align*}

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(\lnot P\nleftrightarrow Q\right)\uparrow\left(\lnot P\rightarrow R\right)\right\} \land\left(\lnot P\lor R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\uparrow\left(P\lor R\right)\right\} \land\left(P\rightarrow R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\leftrightarrow Q\right)\land\left(P\lor R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\nleftrightarrow Q\right)\downarrow\left(P\downarrow R\right)\right\} \lor\left(P\nrightarrow R\right) \end{align*}

(100)

(45)より、

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \end{align*}

ページ情報

タイトル

3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン

URL

https://www.nomuramath.com/mjzewm4z/

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