(1)

\(P\)が偽のとき、右辺は偽となるので成り立つ。
\(P\)が真のとき、右辺は真、左辺は真となるので成り立つ。
故に与式は成り立つ。

(2)

(1)の対偶をとると、

\[ \lnot P\land\lnot Q\Rightarrow\lnot P \]

ここで\(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)とすれば与式になる。

(3)

(1)で\(\lnot P\)を\(P\)とすると、

\begin{align*} \lnot P & \Rightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow Q \end{align*}

となるので与式は成り立つ。

(4)

(1)で\(Q\)を\(\lnot Q\)とすると、

\begin{align*} P & \Rightarrow P\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow Q \end{align*}

となるので与式は成り立つ。

(5)

(1)の対偶をとると、

\[ P\downarrow Q\Rightarrow\lnot P \]

となるので与式は成り立つ。

(6)

(1)で\(P\)を\(\lnot P\)に、\(Q\)を\(\lnot\)\(Q\)とすると、

\begin{align*} \lnot P & \Rightarrow\lnot P\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\uparrow Q \end{align*}

となるので与式は成り立つ。

(7)

(1)の対偶をとり、

\[ \lnot P\land\lnot Q\Rightarrow\lnot P \]

\(\lnot P\)を\(P\)とすると、

\begin{align*} P\land\lnot Q & \Leftrightarrow P\nrightarrow Q\\ & \Rightarrow P \end{align*}

となるので与式は成り立つ。

(8)

(1)で対偶をとると、

\[ \lnot P\land\lnot Q\Rightarrow\lnot P \]

\(\lnot Q\)を\(Q\)とすると、

\begin{align*} \lnot P\land Q & \Leftrightarrow P\nleftarrow Q\\ & \Rightarrow\lnot P \end{align*}

となるので与式は成り立つ。

(9)

(2)より、

\begin{align*} P\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow Q\right)\\ & \Rightarrow P\rightarrow Q \end{align*}

となるので与式は成り立つ。

(10)

(1)より、

\begin{align*} P\nrightarrow Q & \Rightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow Q \end{align*}

となるので与式は成り立つ。