(1)

\begin{align*} P\lor\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\begin{cases} Q\lor R & P\leftrightarrow0\\ 1 & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \left(P\lor Q\right)\lor R & P\leftrightarrow0\\ \left(P\lor Q\right)\lor R & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \end{align*}

(2)

(1)より、

\begin{align*} P\lor\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(3)

(1)の対偶をとると、

\[ -P\land\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\land\lnot R \]

\(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に、\(\lnot R\)を\(R\)に置き換えると、

\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \]

となる。

(4)

(3)より、

\begin{align*} P\land\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(5)

(1)より、

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(6)

(1)より、

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(7)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\begin{cases} \lnot\left(Q\leftrightarrow R\right) & P\leftrightarrow0\\ Q\leftrightarrow R & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \lnot\left(\lnot Q\nleftrightarrow R\right) & P\leftrightarrow0\\ Q\leftrightarrow R & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \lnot Q\leftrightarrow R & P\leftrightarrow0\\ Q\leftrightarrow R & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R & P\leftrightarrow0\\ \left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \end{align*}

(8)

\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \end{align*}

(9)

(3)より、

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}

(10)

(3)より、

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(11)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R \end{align*}

(12)

\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftrightarrow Q\right)\nleftrightarrow R \end{align*}