優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係

優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\(P,Q,R\)は命題変数とする。

(1)

\[ P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \]

(2)重要

\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R \]

(3)

\[ P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \]

(4)

\[ P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \]

(5)

\[ P\lor\left(Q\downarrow R\right)\Leftarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(6)

\[ P\lor\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \]

(7)

\[ P\lor\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\nrightarrow R \]

(8)

\[ P\lor\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land R \]

(9)重要

\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Rightarrow\left(P\land Q\right)\lor R \]

(10)

\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \]

(11)

\[ P\land\left(Q\rightarrow R\right)\Rightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor R \]

(12)

\[ P\land\left(Q\leftarrow R\right)\Rightarrow\left(P\land Q\right)\leftarrow R \]

(13)

\[ P\land\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(14)

\[ P\land\left(Q\uparrow R\right)\Rightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\leftarrow R \]

(15)

\[ P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \]

(16)

\[ P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \]

(17)

\[ P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \]

(18)

\[ P\rightarrow\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land R \]

(19)

\[ P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \]

(20)

\[ P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \]

(21)

\[ P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftarrow\left(P\uparrow Q\right)\nrightarrow R \]

(22)

\[ P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \]

(23)

\[ P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(24)

\[ P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftarrow\left(P\uparrow Q\right)\land R \]

(25)

\[ P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(26)

\[ P\leftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \]

(27)

\[ P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\nrightarrow R \]

(28)

\[ P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land R \]

(29)

\[ P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \]

(30)

\[ P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R \]

(31)

\[ P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \]

(32)

\[ P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \]

(33)

\[ P\downarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(34)

\[ P\downarrow\left(Q\land R\right)\Rightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftarrow R \]

(35)

\[ P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(36)

\[ P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \]

(37)

\[ P\downarrow\left(Q\downarrow R\right)\Rightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor R \]

(38)

\[ P\downarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \]

(39)

\[ P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Rightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor R \]

(40)

\[ P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Rightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftarrow R \]

(41)

\[ P\uparrow\left(Q\lor R\right)\Leftarrow\left(P\uparrow Q\right)\nrightarrow R \]

(42)

\[ P\uparrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \]

(43)

\[ P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(44)

\[ P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftarrow\left(P\uparrow Q\right)\land R \]

(45)

\[ P\uparrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \]

(46)

\[ P\uparrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land R \]

(47)

\[ P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \]

(48)

\[ P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \]

(49)

\[ P\nrightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(50)

\[ P\nrightarrow\left(Q\land R\right)\Rightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\leftarrow R \]

(51)

\[ P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \]

(52)

\[ P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \]

(53)

\[ P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Rightarrow\left(P\land Q\right)\lor R \]

(54)

\[ P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \]

(55)

\[ P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Rightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor R \]

(56)

\[ P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Rightarrow\left(P\land Q\right)\leftarrow R \]

(57)

\[ P\nleftarrow\left(Q\lor R\right)\Rightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor R \]

(58)

\[ P\nleftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \]

(59)

\[ P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Rightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor R \]

(60)

\[ P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Rightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftarrow R \]

(61)

\[ P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(62)

\[ P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Rightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftarrow R \]

(63)

\[ P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \]

(64)

\[ P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \]

(1)

\begin{align*} P\lor\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \end{align*}

(2)

\begin{align*} P\lor\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\lor Q\right)\land P\right\} \lor\left\{ \left(P\lor Q\right)\land R\right\} \\ & \Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R \end{align*}

(3)

\begin{align*} P\lor\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(4)

\begin{align*} P\lor\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(5)

\begin{align*} P\lor\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(6)

\begin{align*} P\lor\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(7)

\begin{align*} P\lor\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(8)

\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land R \end{align*}

(9)

\begin{align*} P\land\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(P\land Q\right)\lor P\right\} \land\left\{ \left(P\land Q\right)\lor R\right\} \\ & \Rightarrow\left(P\land Q\right)\lor R \end{align*}

(10)

\begin{align*} P\land\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \end{align*}

(11)

\begin{align*} P\land\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Rightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(12)

\begin{align*} P\land\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Rightarrow\left(P\land Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(13)

\begin{align*} P\land\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(14)

\begin{align*} P\land\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Rightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(15)

\begin{align*} P\land\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(16)

\begin{align*} P\land\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \end{align*}

(17)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(18)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land R \end{align*}

(19)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \end{align*}

(20)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(21)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(22)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(23)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(24)

\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land R \end{align*}

(25)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(26)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(27)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(28)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land R \end{align*}

(29)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\lor R \end{align*}

(30)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R \end{align*}

(31)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(32)

\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(33)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(34)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Rightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(35)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(36)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \end{align*}

(37)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Rightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(38)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}

(39)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Rightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(40)

\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Rightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(41)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(42)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(43)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(44)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(\lnot Q\land R\right)\\ & \Leftarrow\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\land R \end{align*}

(45)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(46)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land R \end{align*}

(47)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\uparrow Q\right)\lor R \end{align*}

(48)

\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(49)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(50)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Rightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(51)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(52)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\land R \end{align*}

(53)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Rightarrow\left(P\land Q\right)\lor R \end{align*}

(54)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\land R \end{align*}

(55)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Rightarrow\left(P\land\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nrightarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(56)

\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Rightarrow\left(P\land Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(57)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Rightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(58)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\land R \end{align*}

(59)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\\ & \Rightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\lor R \end{align*}

(60)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Rightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(61)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(62)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\\ & \Rightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\leftarrow R \end{align*}

(63)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\nrightarrow R \end{align*}

(64)

\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\left(P\downarrow Q\right)\land R \end{align*}

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優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係

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