(1)

\begin{align*} \lnot\left(a\in A\right) & \Leftrightarrow a\in X\land a\notin A\\ & \Leftrightarrow a\in\left\{ x\in X;x\notin A\right\} \\ & \Leftrightarrow a\in A^{c} \end{align*}

(2)

\begin{align*} a\in A\lor a\in B & \Leftrightarrow a\in\left\{ x;x\in A\lor x\in B\right\} \\ & \Leftrightarrow a\in A\cup B\cmt{\because A\cup B:=\left\{ x;x\in A\lor x\in B\right\} } \end{align*}

(3)

\begin{align*} a\in A\land a\in B & \Leftrightarrow a\in\left\{ x;x\in A\land x\in B\right\} \\ & \Leftrightarrow a\in A\cap B\cmt{\because A\cap B:=\left\{ x;x\in A\land x\in B\right\} } \end{align*}

(4)

\begin{align*} a\in A\rightarrow a\in B & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\right)\lor a\in B\\ & \Leftrightarrow a\in A^{c}\lor a\in B\\ & \Leftrightarrow a\in A^{c}\cup B \end{align*}

(5)

\begin{align*} a\in A\leftarrow a\in B & \Leftrightarrow a\in A\lor\lnot\left(a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow a\in A\lor a\in B^{c}\\ & \Leftrightarrow a\in A\cup B^{c} \end{align*}

(6)

\begin{align*} a\in A\leftrightarrow a\in B & \Leftrightarrow\left(a\in A\rightarrow a\in B\right)\land\left(a\in A\leftarrow a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(a\in A^{c}\cup B\right)\land\left(a\in A\cup B^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow a\in\left(A^{c}\cup B\right)\cap\left(A\cup B^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow a\in\left(A^{c}\cap B^{c}\right)\cup\left(A\cap B\right)\\ & \Leftrightarrow a\in\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cup B\right)^{c} \end{align*}

(7)

\begin{align*} a\in A\downarrow a\in B & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\lor a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\cup B\right)\\ & \Leftrightarrow a\in\left(A\cup B\right)^{c}\\ & \Leftrightarrow a\in A^{c}\cap B^{c} \end{align*}

(8)

\begin{align*} a\in A\uparrow a\in B & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\land a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\cap B\right)\\ & \Leftrightarrow a\in\left(A\cap B\right)^{c}\\ & \Leftrightarrow a\in A^{c}\cup B^{c} \end{align*}

(9)

\begin{align*} a\in A\nrightarrow a\in B & \Leftrightarrow a\in A\land\lnot\left(a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow a\in A\land a\in B^{c}\\ & \Leftrightarrow a\in A\cap B^{c}\\ & \Leftrightarrow a\in A\setminus B \end{align*}

(10)

\begin{align*} a\in A\nleftarrow a\in B & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\right)\land a\in B\\ & \Leftrightarrow a\in A^{c}\land a\in B\\ & \Leftrightarrow a\in A^{c}\cap B\\ & \Leftrightarrow a\in B\setminus A \end{align*}

(11)

\begin{align*} a\in A\nleftrightarrow a\in B & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\leftrightarrow a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(a\in A\rightarrow a\in B\right)\land\left(a\in A\leftarrow a\in B\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\rightarrow a\in B\right)\lor\lnot\left(a\in A\leftarrow a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(a\in A\nrightarrow a\in B\right)\lor\left(a\in A\nleftarrow a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow a\in A\cap B^{c}\lor a\in A^{c}\cap B\\ & \Leftrightarrow a\in A\setminus B\lor a\in B\setminus A\\ & \Leftrightarrow a\in\left(A\setminus B\right)\cup\left(B\setminus A\right)\\ & \Leftrightarrow a\in A\triangle B \end{align*}