偏角・対数の極限
偏角・対数の極限
(1)
\[ \lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases} \Arg\alpha & x\rightarrow+0\\ \Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0 \end{cases} \](2)
\[ \lim_{x\rightarrow\pm0}\left(\Log\left(\alpha x\right)-\Log\left(x\right)\right)=\begin{cases} \Log\alpha & x\rightarrow+0\\ \Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0 \end{cases} \](1)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} & =\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\frac{\alpha x}{x}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\left(\alpha x\right)+\Arg x^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(x\right)}\right\} \\ & =\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\left(\alpha x\right)+\Arg x^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(x\right)}\right\} \\ & =\begin{cases} \Arg\alpha & x\rightarrow+0\\ \Arg\alpha+2\pi H_{0}\left(\Arg\left(-\alpha\right)\right)-2\pi & x\rightarrow-0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \Arg\alpha & x\rightarrow+0\\ \Arg\alpha+\pi-\Arg\alpha+\Arg\left(-\alpha\right)-2\pi & x\rightarrow-0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \Arg\alpha & x\rightarrow+0\\ \Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0 \end{cases} \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} & =\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha\frac{x}{\left|x\right|}\right)-\Arg\left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right\} \\ & =\Arg\left(\pm\alpha\right)-\Arg\left(\pm1\right)\\ & =\begin{cases} \Arg\alpha & x\rightarrow+0\\ \Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0 \end{cases} \end{align*}(2)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\pm0}\left(\Log\left(\alpha x\right)-\Log\left(x\right)\right) & =\lim_{x\rightarrow\pm0}\left(\Log\left|\alpha x\right|+i\Arg\left(\alpha x\right)-\Log\left|x\right|-i\Arg\left(x\right)\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow\pm0}\left(\Log\left|\alpha x\right|-\Log\left|x\right|+i\left(\Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right)\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow\pm0}\left(\Log\frac{\left|\alpha x\right|}{\left|x\right|}+i\left(\Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right)\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow\pm0}\left(\Log\left|\alpha\right|+i\left(\Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right)\right)\\ & =\begin{cases} \Log\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\ \Log\left|\alpha\right|+i\left(\Arg\left(-\alpha\right)-\pi\right) & x\rightarrow-0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \Log\alpha & x\rightarrow+0\\ \Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0 \end{cases} \end{align*}ページ情報
タイトル | 偏角・対数の極限 |
URL | https://www.nomuramath.com/zxz1pmio/ |
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複素数の実部と虚部
\[
\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)
\]
eの冪乗の基本
\[
e^{\alpha+\beta}=e^{\alpha}e^{\beta}
\]
対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]
冪乗の対数
\[
\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)
\]