上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係
上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。
上限と下限
最大元と最小元
\[ \min_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]
\[ \max_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]
\[ \min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\leq\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]
上極限と下極限
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。
上限と下限
(1)
\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \](2)
\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \](3)
\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]最大元と最小元
(4)
\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)が存在するとする。\[ \min_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]
(5)
\(\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)が存在するとする。\[ \max_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]
(6)
\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)と\(\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)が共に存在するとする。\[ \min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\leq\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]
上極限と下極限
(7)
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right)=-\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \](8)
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right)=-\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \](9)
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right)\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \](1)
\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)の定義より、\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)-\epsilon<a_{k} \end{cases} \] が成り立つ。
これより、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\leq-a_{j}\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},-a_{k}<-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)+\epsilon \end{cases} \] ここで\(-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\rightarrow\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\)とすれば、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\leq-a_{j}\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},-a_{k}<\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)+\epsilon \end{cases} \] となり、\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\)の定義になるのでこの式は正しい。
従って、\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)=-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\)が成り立つので\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)が成り立つ。
(2)
(1)より、\begin{align*} \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & =-\left\{ -\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\right\} \\ & =-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\left(-a_{n}\right)\right)\\ & =-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(3)
\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の上限\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)と下限\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)は無限を含めて存在するので、任意の\(n\in\mathbb{N}\)について\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n} \] が成り立つ。
(4)
\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)の定義と\(\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)の定義より、\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)=a_{k} & \Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{N},\forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq a_{k}\\ & \Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{N},\forall j\in\mathbb{N},\left(-a_{k}\right)\leq\left(-a_{j}\right)\\ & \Leftrightarrow\min_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-a_{k} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \min_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & =-a_{k}\\ & =-\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。
(5)
(4)より、\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & =-\left\{ -\max_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\right\} \\ & =-\left\{ \min_{n\in\mathbb{N}}\left(-\left(-a_{n}\right)\right)\right\} \\ & =-\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(6)
\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)と\(\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)が共に存在するなら明らかに成り立つ。(7)
(1)より、\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(-a_{n}\right)\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(a_{n}\right)\\ & =-\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(8)
(2)より、\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(-a_{n}\right)\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(a_{n}\right)\\ & =-\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(9)
(3)より、\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(a_{n}\right)\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(a_{n}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
ページ情報
タイトル | 上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係 |
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極限と上極限・下極限との関係
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)
\]
極限と積分・微分の順序変更
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
上限定理・下限定理
実数では上に有界ならば上限が存在する。