(1)

\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)=-\infty\)のとき、

\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)=-\infty\)となるので、\(I=\emptyset\)のときのみであり、\(\inf_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)=\infty=-\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)となり成り立つ。

\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\in\mathbb{R}\)のとき

\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)の定義より、
\[ \begin{cases} \forall x\in I,f\left(x\right)\leq\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists x\in I,\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)-\epsilon<f\left(x\right) \end{cases} \] が成り立つ。
これより、
\[ \begin{cases} \forall x\in I,-\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\leq-f\left(x\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists x\in I,-f\left(x\right)<-\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)+\epsilon \end{cases} \] となり、この\(-\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\)は\(\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right)\)になっている。
実際に\(-\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\rightarrow\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right)\)とすれば、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right)\leq-f\left(x\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},-f\left(x\right)<\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right)+\epsilon \end{cases} \] となり、\(\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right)\)の定義になるのでこの式は正しい。
これより、\(\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)=-\inf_{y\in I}\left(-f\left(x\right)\right)\)が成り立つので\(\inf_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)=-\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)が成り立つ。

\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)=\infty\)のとき

このとき、
\[ \begin{cases} \forall x\in I,f\left(x\right)\leq\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\\ \forall a\in\mathbb{R},\exists y\in I,a<f\left(y\right) \end{cases} \] となる。
これより、
\[ \begin{cases} \forall x\in I,-\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\leq-f\left(x\right)\\ \forall a\in\mathbb{R},\exists y\in I,-f\left(y\right)<-a \end{cases} \] となり、この\(\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\)は\(-\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right)\)になっている。
実際に\(\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\rightarrow-\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right),-a\rightarrow a\)とすれば、
\[ \begin{cases} \forall x\in I,\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right)\leq-f\left(x\right)\\ \forall a\in\mathbb{R},\exists y\in I,-f\left(y\right)<a \end{cases} \] となり、\(\inf_{y\in I}\left(-f\left(y\right)\right)=-\infty\)の定義になるのでこの式は正しい。
これより、\(\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)=\infty=-\inf_{y\in I}\left(-f\left(x\right)\right)\)が成り立つので\(\inf_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)=-\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)が成り立つ。

-

従って、\(\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\in\overline{\mathbb{R}}\)のとき\(\inf_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)=-\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)が成り立つので、題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \sup_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right) & =-\left(-\sup_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)\right)\\ & =-\inf_{x\in I}\left(-\left(-f\left(x\right)\right)\right)\cmt{\because\inf_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)=-\sup_{x\in I}f\left(x\right)}\\ & =-\inf_{x\in I}f\left(x\right) \end{align*}

(3)

\(\leq\)

\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)と\(\inf_{x\in I}f\left(x\right)\)は無限\(\pm\infty\)を含めて存在する。
前件より、\(I\ne\emptyset\)であるので、任意に\(x_{0}\in I\)を選ぶ。
そうすると、\(\inf_{x\in I}f\left(x\right)\)は集合\(\left\{ f\left(x\right);x\in I\right\} \)の下界であるので、
\[ \inf_{x\in I}f\left(x\right)\leq f\left(x_{0}\right) \] となる。
同様に\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)は集合\(\left\{ f\left(x\right);x\in I\right\} \)の上界であるので、
\[ f\left(x_{0}\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right) \] となる。
これより、
\begin{align*} \inf_{x\in I}f\left(x\right) & \leq f\left(x_{0}\right)\\ & \leq\sup_{x\in I}f\left(x\right) \end{align*} となるので、\(\inf_{x\in I}f\left(x\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)となる。

逆の不等号は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},\delta_{1,n}\)として\(I=\left\{ 1,2\right\} \)すると、\(\inf_{x\in I}f\left(x\right)=\inf_{x\in\left\{ 1,2\right\} }\delta_{1,n}=0\)であり、\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)=\sup_{x\in\left\{ 1,2\right\} }\delta_{1,n}=1\)となるので、\(\inf_{x\in I}f\left(x\right)=0<1=\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない。

(4)

\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right)\)が存在するので、ある\(x_{0}\in I\)が存在し、\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x_{0}\right)\)と表すことができる。
\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right)\)の定義と\(\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right)\)の定義より、
\begin{align*} \max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x_{0}\right) & \Leftrightarrow\exists x_{0}\in I,\forall x\in I,f\left(x\right)\leq f\left(x_{0}\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x_{0}\in I,\forall x\in I,\left(-f\left(x_{0}\right)\right)\leq\left(-f\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\min_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)=-f\left(x_{0}\right) \end{align*} となるので、
\begin{align*} \min_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right) & =-f\left(x_{0}\right)\\ & =-\max_{x\in I}\left(a_{n}\right) \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(5)

(4)より、
\begin{align*} \max_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right) & =-\left\{ -\max_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)\right\} \\ & =-\left\{ \min_{x\in I}\left(-\left(-f\left(x\right)\right)\right)\right\} \\ & =-\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(6)

\(\leq\)

\(\max_{x\in I}f\left(x\right)\)と\(\min_{x\in I}f\left(x\right)\)が共に存在するなら明らかに成り立つ。
任意に\(x_{0}\in I\)を選ぶ。
そうすると、
\[ \min_{x\in I}f\left(x\right)\leq f\left(x_{0}\right) \] となる。
また、
\[ f\left(x_{0}\right)\leq\max_{x\in I}f\left(x\right) \] となる。
従って、
\begin{align*} \min_{x\in I}f\left(x\right) & \leq f\left(x_{0}\right)\\ & \leq\max_{x\in I}f\left(x\right) \end{align*} となるので、
\[ \min_{x\in I}f\left(x\right)\leq\max_{x\in I}f\left(x\right) \] となる。

逆の不等号は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},\delta_{1,n}\)として\(I=\left\{ 1,2\right\} \)すると、\(\min_{x\in I}f\left(x\right)=\min_{x\in\left\{ 1,2\right\} }\delta_{1,n}=0\)であり、\(\max_{x\in I}f\left(x\right)=\max_{x\in\left\{ 1,2\right\} }\delta_{1,n}=1\)となるので、\(\min_{x\in I}f\left(x\right)=0<1=\max_{x\in I}f\left(x\right)\)となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない。

(7)

(1)より、
\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(-f\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(-f\left(x\right)\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(-\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(f\left(x\right)\right)\right)\\ & =-\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(f\left(x\right)\right)\\ & =-\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) \end{align*} となる。

(8)

(2)より、
\begin{align*} \limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(-f\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(-f\left(x\right)\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(-\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(f\left(x\right)\right)\right)\\ & =-\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(f\left(x\right)\right)\\ & =-\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) \end{align*} となる。

(9)

\(\leq\)

(3)より、
\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}f\left(x\right)\\ & \leq\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}f\left(x\right)\\ & =\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) \end{align*} となるので、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right)\leq\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right)\)となる。

逆は一般的に成り立たない

\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\sin x\)として\(\alpha=\infty\)とすると、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\liminf_{x\rightarrow\infty}\sin x=-1\)であり、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=\limsup_{x\rightarrow\infty}\sin x=1\)となるので、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=-1<1=\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない