上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
関数\(f,g:\mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}_{0}^{+}}=\left[0,\infty\right]\)があり、\(\alpha\in\overline{\mathbb{R}},I\subseteq\mathbb{R}\)とする。
関数\(f,g:\mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}_{0}^{+}}=\left[0,\infty\right]\)があり、\(\alpha\in\overline{\mathbb{R}},I\subseteq\mathbb{R}\)とする。
(1)
\[ \left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。(2)
\[ \inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。(3)
\[ \left(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\right)\leq\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。(4)
\[ \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(\alpha\right)\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。(1)
\(\forall x\in\mathbb{R},0\leq f\left(x\right),0\leq g\left(x\right)\)の条件がないと成り立ちません。例えば(1)で\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto-1-\delta_{2,n}\)として、\(g:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto1+\delta_{1,n}\)として\(I=\left\{ 1,2\right\} \)とすると、左辺は、\(\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\right)=\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-1-\delta_{2,n}\right)\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(1+\delta_{1,n}\right)\right)=-1\cdot1=-1\)となり、右辺は
\begin{align*} \sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right) & =\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(\left(-1-\delta_{2,n}\right)\left(1+\delta_{1,n}\right)\right)\\ & =\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-1-\delta_{1,n}-\delta_{2,n}-\delta_{2,n}\delta_{1,n}\right)\\ & =\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-1-\delta_{1,n}-\delta_{2,n}\right)\\ & =-2 \end{align*} となるので\(\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\right)=-1>-2=\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)\)となるからである。
(2)では\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto\delta_{1,n}\)として、\(g:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto-\delta_{2,n}\)として\(I=\left\{ 1,2\right\} \)とすると、左辺は、\(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-\delta_{1,n}\delta_{2,n}\right)=0\)となり、右辺は\(\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\right)=\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\delta_{1,n}\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(-\delta_{2,n}\right)\right)=1\cdot\left(-1\right)=-1\)となるので、\(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=0>-1=\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\right)\)となるからである。
(1)
\(\leq\)
\begin{align*} \left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right) & =\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\inf_{y\in I}g\left(y\right)\right)\cmt{\because0\leq\inf_{x\in I}g\left(x\right)}\\ & \leq\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \end{align*} となるので、\[ \left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \] が成り立つ。
逆の不等号は一般的に成り立たない
反例で示す。関数\(f,g\)を\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto1\)と\(g:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto\delta_{1,n}\)とする。
このとき、左辺は\(\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\right)=\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }1\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(\delta_{1,n}\right)\right)=1\cdot0=0\)
となり、右辺は
\(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(\delta_{1,n}\right)=1\)となるので\(\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\right)\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\right)=0<1=\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)\)となる。
従って 逆の不等号は一般的に成り立たない。
(2)
\(\leq\)
\begin{align*} \left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right) & =\inf_{x\in I}\left(\sup_{y\in I}f\left(y\right)\cdot g\left(x\right)\right)\cmt{\because0\leq\sup_{y\in I}f\left(y\right)}\\ & \geq\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \end{align*} となるので、\[ \inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right) \] が成り立つ。
逆の不等号は一般的に成り立たない
反例で示す。関数\(f,g\)を\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto\delta_{1,n}\)と\(g:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},n\mapsto1\)とする。
このとき、左辺は
\(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\delta_{1,n}=0\)となり、右辺は\(\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\right)=\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\delta_{1,n}\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }1\right)=1\cdot1=1\)
となり、で\(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }\left(f\left(n\right)g\left(n\right)\right)=0<1=\left(\sup_{n\in\left\{ 1,2\right\} }f\left(n\right)\right)\left(\inf_{n\in\left\{ 1,2\right\} }g\left(n\right)\right)\)となる。
従って 逆の不等号は一般的に成り立たない。
(3)
\(\leq\)
\begin{align*} \left(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\right) & =\left(\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)\right)\left(\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x'\right)\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x'\right)\right)\\ & \leq\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\\ & =\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \end{align*} となるので、\[ \left(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\right)\leq\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \] となる。
逆の不等号は一般的に成り立たない
反例で示す。\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto1\)として、\(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\sin x\)として、\(\alpha=\infty\)とする。
このとき、左辺は\(\left(\limsup_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\infty}g\left(x\right)\right)=\left(\limsup_{x\rightarrow\infty}1\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\infty}\sin x\right)=-1\)となり、右辺は\(\limsup_{x\rightarrow\infty}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=\limsup_{x\rightarrow\infty}\sin x=1\)となるので、
\begin{align*} \left(\limsup_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\infty}g\left(x\right)\right) & =-1\\ & <1\\ & =\limsup_{x\rightarrow\infty}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない
(4)
\(\leq\)
\begin{align*} \left(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\right) & =\left(\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)\right)\left(\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\right)\\ & \geq\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\\ & =\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) \end{align*} となるので、\[ \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\right) \] となる。
逆の不等号は一般的に成り立たない
反例で示す。\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\sin x\)として、\(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto1\)として、\(\alpha=\infty\)とする。
このとき、左辺は\(\liminf_{x\rightarrow\infty}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=\liminf_{x\rightarrow\alpha}\sin x=-1\)となり、右辺は\(\left(\limsup_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\infty}g\left(x\right)\right)=\left(\limsup_{x\rightarrow\infty}\sin x\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\infty}1\right)=1\)となり、
\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\infty}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) & =-1\\ & <1\\ & =\left(\limsup_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)\right)\left(\liminf_{x\rightarrow\infty}g\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない
ページ情報
| タイトル | 上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係 |
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