5次方程式ですが簡単に解けます

\begin{align*} 0 & =z^{6}-\left(z-1\right)^{6}\\ & =\left\{ z^{3}+\left(z-1\right)^{3}\right\} \left\{ z^{3}-\left(z-1\right)^{3}\right\} \\ & =\left(z+\left(z-1\right)\right)\left(z^{2}-z\left(z-1\right)+\left(z-1\right)^{2}\right)\left(z-\left(z-1\right)\right)\left(z^{2}+z\left(z-1\right)+\left(z-1\right)^{2}\right)\\ & =\left(2z-1\right)\left(z^{2}-\left(z-1\right)\right)\left(z^{2}+\left(2z-1\right)\left(z-1\right)\right)\\ & =\left(2z-1\right)\left(z^{2}-z+1\right)\left(3z^{2}-3z+1\right) \end{align*} となるので\(z=\frac{1}{2},\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}i}{2},\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}i\)が解となる。