上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
関数を\(f,g:\mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}\)として、\(\alpha\in\mathbb{R}\cup\left\{ \pm\infty\right\} ,I\subseteq\mathbb{R}\)とする。

上限・下限

(1)上限

\[ \sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}g\left(x\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。

(2)下限

\[ \inf_{x\in I}f\left(x\right)+\inf_{x\in I}g\left(x\right)\leq\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。

最大元・最小元

(3)最大元

\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}g\left(x\right),\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)が存在するとする。
\[ \max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\max_{x\in I}f\left(x\right)+\max_{x\in I}g\left(x\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。

(4)最小元

\(\min_{x\in I}f\left(x\right),\min_{x\in I}g\left(x\right),\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)が存在するとする。
\[ \min_{x\in I}f\left(x\right)+\min_{x\in I}g\left(x\right)\leq\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。

上極限・下極限

(5)上極限

\[ \limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\limsup_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。

(6)下極限

\[ \liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\leq\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \] 逆の不等号は一般的に成り立たない。

(1)

(1)で等号が成り立たない例
関数\(f\)を\(f:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{0,x}\)として、関数\(g\)を\(g:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{1,x}\)として、\(I=\left\{ 0,1\right\} \)とする。
このとき、\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)=1,\sup_{x\in I}g\left(x\right)=1,\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=1\)となる。
これより、\(\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=1<2=\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}g\left(x\right)\)となり、等号が成り立たない。

(2)

(1)で等号が成り立たない例
関数\(f\)を\(f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\left(-1\right)^{x}\)として、関数\(g\)を\(g:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\left(-1\right)^{x+1}\)として、\(I=\left\{ 1,2\right\} \)とする。
このとき、\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)=1,\sup_{x\in I}g\left(x\right)=1,\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=0\)となる。
これより、\(\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=0<2=\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}g\left(x\right)\)となり、等号が成り立たない。

(1)

\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}g\left(x\right)\)が存在しても\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)が存在するとは限らない。
反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R},n\mapsto\delta_{1,n}-\frac{1}{2}\delta_{2,n}-\frac{1}{n}\)として、関数\(g\)を\(g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R},n\mapsto-\delta_{1,n}+\frac{1}{2}\delta_{2,n}-\frac{1}{n}\)とする。
そうすると、\(\max_{n\in\mathbb{N}}f\left(x\right)=f\left(1\right)=2,\max_{n\in\mathbb{N}}g\left(x\right)=f\left(2\right)=1\)となるが、
\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & =\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}-\frac{1}{2}\delta_{2,n}-\frac{1}{n}-\delta_{1,n}+\frac{1}{2}\delta_{2,n}-\frac{1}{n}\right)\\ & =\max_{n\in\mathbb{N}}\left(-\frac{2}{n}\right) \end{align*} となり、\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)は存在しない。
従って、\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}g\left(x\right)\)が存在しても\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)が存在するとは限らない。

(2)

\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)が存在しても\(\max_{x\in I}g\left(x\right)\)が存在するとは限らない。
反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R},2\delta_{1,n}-\frac{1}{n}\)として、関数\(g\)を\(g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R},n\mapsto-\frac{1}{n}\)とする。
そうすると、\(\max_{n\in\mathbb{N}}f\left(x\right)=f\left(1\right)=2\)となり、
\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & =\max_{n\in\mathbb{N}}\left(2\delta_{1,n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\right)\\ & =2\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}-\frac{1}{n}\right)\\ & =0 \end{align*} となるが、\(\max_{n\in\mathbb{N}}g\left(x\right)\)は存在しない。
従って、\(\max_{x\in I}f\left(x\right),\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)が存在しても\(\max_{x\in I}g\left(x\right)\)が存在するとは限らない。

(1)

\(\leq\)

\(I=\emptyset\)のときは成り立つので、\(I\ne\emptyset\)とする。
任意の\(x_{0}\in I\)に対し、\(f\left(x_{0}\right)\leq\sup_{y\in I}f\left(y\right),g\left(x_{0}\right)\leq\sup_{y\in I}g\left(y\right)\)となる。
これより、
\[ f\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}f\left(x\right) \] となるので、
\begin{align*} \sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & \leq\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}f\left(x\right)\\ & =\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}f\left(x\right) \end{align*} となる。
これより、\(\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}f\left(x\right)\)が成り立つ。

逆の不等号は一般的に成り立たない。

反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{0,x}\)として、関数\(g\)を\(g:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{1,x}\)として、\(I=\left\{ 0,1\right\} \)とする。
このとき、\(\sup_{x\in I}f\left(x\right)=1,\sup_{x\in I}g\left(x\right)=1,\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=1\)となる。
これより、\(\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=1<2=\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}g\left(x\right)\)となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない。

(2)

\(\leq\)

(1)より、
\begin{align*} \inf_{x\in I}f\left(x\right)+\inf_{x\in I}g\left(x\right) & =-\sup_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)-\sup_{x\in I}\left(-g\left(x\right)\right)\\ & =-\sup_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)+\sup_{x\in I}\left(-g\left(x\right)\right)\\ & \leq-\sup_{x\in I}\left(-\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\right)\\ & =\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って、\(\inf_{x\in I}f\left(x\right)+\inf_{x\in I}g\left(x\right)\leq\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)となる。

逆の不等号は一般的に成り立たない。

反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{0,x}\)として、関数\(g\)を\(g:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{1,x}\)として、\(I=\left\{ 0,1\right\} \)とする。
このとき、\(\inf_{x\in I}f\left(x\right)=0,\inf_{x\in I}g\left(x\right)=0,\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=1\)となる。
これより、\(\inf_{x\in I}f\left(x\right)+\inf_{x\in I}g\left(x\right)=0<1=\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない。

(3)

\(\leq\)

任意の\(x_{0}\in I\)について、\(f\left(x_{0}\right)\leq\max_{y\in I}f\left(y\right),g\left(x_{0}\right)\leq\max_{y\in I}g\left(y\right)\)となる。
これより、
\[ f\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)\leq\max_{x\in I}f\left(x\right)+\max_{x\in I}g\left(x\right) \] となるので、
\begin{align*} \max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & \leq\max_{x\in I}f\left(x\right)+\max_{x\in I}g\left(x\right)\\ & =\max_{x\in I}f\left(x\right)+\max_{y\in I}g\left(x\right) \end{align*} となる。
従って\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\max_{x\in I}f\left(x\right)+\max_{x\in I}g\left(x\right)\)が成り立つ。

逆の不等号は一般的に成り立たない。

反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{0,x}\)として、関数\(g\)を\(g:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{1,x}\)として、\(I=\left\{ 0,1\right\} \)とする。
このとき、\(\max_{x\in I}f\left(x\right)=1,\max_{x\in I}g\left(x\right)=1,\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=1\)となる。
これより、\(\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=1<2=\max_{x\in I}f\left(x\right)+\max_{x\in I}g\left(x\right)\)となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない。

(4)

\(\leq\)

(3)より、
\begin{align*} \min_{x\in I}f\left(x\right)+\min_{x\in I}g\left(x\right) & =-\max_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)-\max_{x\in I}\left(-g\left(x\right)\right)\\ & =-\left(\max_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)+\max_{x\in I}\left(-g\left(x\right)\right)\right)\\ & \leq-\left(\max_{x\in I}\left(-f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\right)\\ & =-\left(\max_{x\in I}\left(-\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\right)\right)\\ & =\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \end{align*} となる。
従って\(\min_{x\in I}f\left(x\right)+\min_{x\in I}g\left(x\right)\leq\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)が成り立つ。

逆の不等号は一般的に成り立たない。

反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{0,x}\)として、関数\(g\)を\(g:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\delta_{1,x}\)として、\(I=\left\{ 0,1\right\} \)とする。
このとき、\(\min_{x\in I}f\left(x\right)=0,\min_{x\in I}g\left(x\right)=0,\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=1\)となる。
これより、\(\min_{x\in I}f\left(x\right)+\min_{x\in I}g\left(x\right)=0<1=\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない。

(5)

(1)より、
\begin{align*} \limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\\ & \leq\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)+\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)+\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\\ & =\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\limsup_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right) \end{align*} となる。
従って、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\limsup_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\)が成り立つ。

逆の不等号は一般的に成り立たない。

反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\sin x\)として、関数\(g\)を\(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto-\sin x\)として、\(\alpha=\infty\)とする。
このとき、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=1,\limsup_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)=1,\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=0\)となる。
これより、\(\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=0<2=\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\limsup_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\)となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない。

(6)

\(\leq\)

(2)より、
\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\\ & \geq\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)+\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }f\left(x\right)+\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)\setminus\left\{ \alpha\right\} }g\left(x\right)\\ & =\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right) \end{align*} となる。
従って、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)\leq\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)が成り立つ。

逆の不等号は一般的に成り立たない。

反例で示す。
関数\(f\)を\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\sin x\)として、関数\(g\)を\(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto-\sin x\)として、\(\alpha=\infty\)とする。
このとき、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)=-1,\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)=-1,\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=0\)となる。
これより、\(\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right)=-2<0=\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)となる。
従って、逆の不等号は一般的に成り立たない。

(6)-2

(5)より、
\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & =-\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(-\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\right)\\ & \geq-\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(-f\left(x\right)\right)-\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(-g\left(x\right)\right)\\ & =\liminf_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right)+\liminf_{x\rightarrow\alpha}g\left(x\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

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数列の極限での大小関係

\[ a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b \]

合成関数の導関数・偏導関数

\[ \frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt} \]

偏微分の順序交換(シュワルツの定理)

\[ \frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x} \]

C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係

\[ C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能} \]