(1)

\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=a\)とおくと、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\rightarrow a\leq a_{n}<a+\epsilon\)を満たす。
これより、\(N\leq n\rightarrow a_{n}-a<\epsilon\rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\)となるので\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)となる。
また極限値が存在しない場合は、振動するか\(\pm\infty\)に発散するかであるが単調減少数列で振動はないので\(-\infty\)に発散することになる。

(1)-2

極限は存在するとき\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)の証明のみ。
数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調減少数列なので\(a_{n}=\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\)となり、\(n\rightarrow\infty\)とすると、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}=\inf_{k\in\mathbb{N}}a_{k}\)となる。

(2)

\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が単調増加列なら\(\left(-a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調減少列になるので(1)より、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right)\\ & =-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\\ & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \end{align*} となる。