単調減少数列・単調増加数列の極限・上限・下限は存在
単調減少数列・単調増加数列の極限・上限・下限は存在
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。
(1)
数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が単調減少数列なら、極限値は存在するか(マイナスの)無限に発散となり存在するなら\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)が成り立つ。(2)
数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が単調増加数列なら、極限値は存在するか無限に発散となり存在するなら\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)が成り立つ。単調減少数列は下に有界であることと極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)は収束することは同値である。
何故なら\(\Rightarrow\)は単調減少数列は下に有界なら収束し、\(\Leftarrow\)は収束するならば有界であるからである。
同様に、単調増加数列は上に有界であることと極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)は収束することは同値である。
何故なら\(\Rightarrow\)は単調減少数列は下に有界なら収束し、\(\Leftarrow\)は収束するならば有界であるからである。
同様に、単調増加数列は上に有界であることと極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)は収束することは同値である。
(1)
\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=a\)とおくと、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\rightarrow a\leq a_{n}<a+\epsilon\)を満たす。これより、\(N\leq n\rightarrow a_{n}-a<\epsilon\rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\)となるので\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)となる。
また極限値が存在しない場合は、振動するか\(\pm\infty\)に発散するかであるが単調減少数列で振動はないので\(-\infty\)に発散することになる。
(1)-2
極限は存在するとき\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)の証明のみ。数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調減少数列なので\(a_{n}=\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\)となり、\(n\rightarrow\infty\)とすると、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}=\inf_{k\in\mathbb{N}}a_{k}\)となる。
(2)
\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が単調増加列なら\(\left(-a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調減少列になるので(1)より、\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right)\\ & =-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\\ & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \end{align*} となる。
ページ情報
タイトル | 単調減少数列・単調増加数列の極限・上限・下限は存在 |
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有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[
\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)
\]
条件収束と絶対収束の定義
数列$\left\{ a_{n}\right\} $の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。
上極限・下極限は存在