上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
関数を\(f:\mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}\)として、\(\alpha\in\mathbb{R}\cup\left\{ \pm\infty\right\} ,c\in\mathbb{R},I\subseteq\mathbb{R}\)とする。
上限・下限
最大元・最小元
上極限・下極限
関数を\(f:\mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}\)として、\(\alpha\in\mathbb{R}\cup\left\{ \pm\infty\right\} ,c\in\mathbb{R},I\subseteq\mathbb{R}\)とする。
上限・下限
(1)上限
\[ \sup_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases} c\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](2)下限
\[ \inf_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases} c\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \]最大元・最小元
(3)最大元
\[ \max_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases} c\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](4)最小元
\[ \min_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases} c\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \]上極限・下極限
(5)上極限
\[ \limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases} c\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](6)下極限
\[ \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases} c\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](1)
\(\sup_{x\in I}\left(\left|c\right|f\left(x\right)\right)\)の定義より、\[ \begin{cases} \forall x\in I,\left|c\right|f\left(x\right)\leq\sup_{y\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists x\in I,\sup_{y\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right)-\epsilon<\left|c\right|f\left(x\right) \end{cases} \] が成り立つ。
これより、
\[ \begin{cases} \forall x\in I,f\left(x\right)\leq\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{x\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists y\in I,\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{x\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right)-\frac{1}{\left|c\right|}\epsilon<f\left(y\right) \end{cases} \] となり、これは\(\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{y\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right)\)が\(\sup_{y\in I}\left(f\left(x\right)\right)\)になることを表している。
実際に\(\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{y\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right)\rightarrow\sup_{y\in I}\left(f\left(x\right)\right),\frac{1}{\left|c\right|}\epsilon\rightarrow\epsilon\)と置きなおせば、
\[ \begin{cases} \forall x\in I,f\left(x\right)\leq\sup_{y\in I}\left(f\left(x\right)\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists x\in I,\sup_{y\in I}\left(f\left(x\right)\right)-\epsilon<f\left(x\right) \end{cases} \] となり、\(\sup_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\)は上限になっている。
従って、
\[ \frac{1}{\left|c\right|}\sup_{x\in I}\left(\left|c\right|f\left(x\right)\right)=\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) \] より、
\[ \sup_{x\in I}\left(\left|c\right|f\left(x\right)\right)=\left|c\right|\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) \] となるので、
\begin{align*} \sup_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right) & =\sup_{x\in I}\left(\sgn\left(c\right)\left|c\right|f\left(x\right)\right)\\ & =\left|c\right|\sup_{x\in I}\left(\sgn\left(c\right)f\left(x\right)\right)\\ & =\begin{cases} c\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ -c\sup_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となり題意は成り立つ。
(2)
(1)より、\begin{align*} \inf_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right) & =-\sup_{x\in I}\left(-cf\left(x\right)\right)\\ & =\begin{cases} c\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(3)
\(\max_{x\in I}\left(\left|c\right|f\left(x\right)\right)\)の定義より、\[ \forall x\in I,\left|c\right|f\left(x\right)\leq\max_{y\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right) \] となるので、
\[ \forall x\in I,f\left(x\right)\leq\frac{1}{\left|c\right|}\max_{y\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right) \] となり、これは\(\frac{1}{\left|c\right|}\max_{y\in I}\left(\left|c\right|f\left(y\right)\right)\)が\(\max_{y\in I}\left(f\left(y\right)\right)\)になっていることを表している。
従って、
\[ \max_{x\in I}\left(\left|c\right|f\left(x\right)\right)=\left|c\right|\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) \] となり、これより、
\begin{align*} \max_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right) & =\max_{x\in I}\left(\sgn\left(c\right)\left|c\right|f\left(x\right)\right)\\ & =\left|c\right|\max_{x\in I}\left(\sgn\left(c\right)f\left(x\right)\right)\\ & =\begin{cases} c\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ -c\max_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。
(4)
(3)より、\begin{align*} \min_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right) & =-\max_{x\in I}\left(-cf\left(x\right)\right)\\ & =\begin{cases} c\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & -c>0\\ c\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & -c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\min_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\max_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。
(5)
(1)より、\begin{align*} \limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(cf\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(cf\left(x\right)\right)\\ & =\begin{cases} c\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(6)
(2)より、\begin{align*} \liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(cf\left(x\right)\right) & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(cf\left(x\right)\right)\\ & =\begin{cases} c\lim_{\delta\rightarrow+0}\inf_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\liminf_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\ c\limsup_{x\rightarrow\alpha}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ytx14aws/ |
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