上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)と実数\(c\in\mathbb{R}\)があるとする。
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)と実数\(c\in\mathbb{R}\)があるとする。
(1)上限
\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](2)下限
\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](3)最大元
\[ \max_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](4)最小元
\[ \min_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](5)上極限
\[ \limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](6)下極限
\[ \liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \](1)
\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\)の定義より、\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},\left|c\right|a_{j}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)-\epsilon<\left|c\right|a_{k} \end{cases} \] が成り立つ。
これより、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)-\frac{1}{\left|c\right|}\epsilon<a_{k} \end{cases} \] となるので、\(\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\rightarrow\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right),\frac{1}{\left|c\right|}\epsilon\rightarrow\epsilon\)と置きなおせば、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)-\epsilon<a_{k} \end{cases} \] となり、\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)は上限となる。
従って、
\[ \frac{1}{\left|c\right|}\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \] より、
\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)=\left|c\right|\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \] となるので、
\begin{align*} \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\sgn\left(c\right)\left|c\right|a_{n}\right)\\ & =\left|c\right|\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\sgn\left(c\right)a_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ -c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となり題意は成り立つ。
(2)
(1)より、\begin{align*} \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-ca_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(3)
\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\)の定義より、\[ \forall j\in\mathbb{N},\left|c\right|a_{j}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right) \] となるので、
\[ \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\frac{1}{\left|c\right|}\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right) \] より、\(\frac{1}{\left|c\right|}\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\rightarrow\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)と置きなおすと、
\[ \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \] となるので、\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)は最大元となる。
従って、
\[ \max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)=\left|c\right|\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \] となり、これより、
\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\sgn\left(c\right)\left|c\right|a_{n}\right)\\ & =\left|c\right|\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\sgn\left(c\right)a_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ -c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。
(4)
(3)より、\begin{align*} \min_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =-\max_{n\in\mathbb{N}}\left(-ca_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & -c>0\\ c\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & -c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。
(5)
(1)より、\begin{align*} \limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(ca_{k}\right)\\ & =\begin{cases} c\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(6)
(2)より、\begin{align*} \liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(ca_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
ページ情報
タイトル | 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍 |
URL | https://www.nomuramath.com/ytx14aws/ |
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実数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係
\[
\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)
\]
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]