(1)

時刻\(t\)での価値を\(P\left(t\right)\)で表すとする。
\(t=0\)で安全資産を\(a\)持っていて、価格\(S\)の株を\(b\)持っているとすると価値は\(P\left(0\right)=a+Sb\)となる。
\(t=1\)では株が\(u\)倍になっているとすると、\(P_{u}\left(1\right)=ar+Sub\)となり、\(d\)倍になっているとすると、\(P_{d}\left(1\right)=ar+Sdb\)となる。
また、コールオプションでは、\(t=1\)で株が\(u\)倍になったとき、権利を行使したときの損益は\(Su-K\)なので損益\(C_{u}\)は
\[ C_{u}=\max\left(Su-K,0\right) \] となり、同様に株が\(d\)倍になったときの損益\(C_{d}\)は
\[ C_{d}=\max\left(Sd-K,0\right) \] となる。
時刻\(t=1\)でこれが等しくなるようにするには、
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} r & Su\\ r & Sd \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} P_{u}\left(1\right)\\ P_{d}\left(1\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} C_{u}\\ C_{d} \end{array}\right) \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} r & Su\\ r & Sd \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} C_{u}\\ C_{d} \end{array}\right)\\ & \frac{1}{Sr\left(d-u\right)}\left(\begin{array}{cc} Sd & -Su\\ -r & r \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} C_{u}\\ C_{d} \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{Sr\left(u-d\right)}\left(\begin{array}{cc} -Sd & Su\\ r & -r \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} C_{u}\\ C_{d} \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{Sr\left(u-d\right)}\left(\begin{array}{c} S\left(uC_{d}-dC_{u}\right)\\ r\left(C_{u}-C_{d}\right) \end{array}\right) \end{align*} となり、
\[ a=\frac{uC_{d}-dC_{u}}{r\left(u-d\right)} \] \[ b=\frac{C_{u}-C_{d}}{S\left(u-d\right)} \] となる。
これより、
\begin{align*} P\left(0\right) & =a+Sb\\ & =\frac{uC_{d}-dC_{u}}{r\left(u-d\right)}+S\frac{C_{u}-C_{d}}{S\left(u-d\right)}\\ & =\frac{1}{r\left(u-d\right)}\left(uC_{d}-dC_{u}+rC_{u}-rC_{d}\right)\\ & =\frac{1}{r\left(u-d\right)}\left(\left(r-d\right)C_{u}+\left(u-r\right)C_{d}\right)\\ & =\frac{1}{r}\left(\frac{r-d}{u-d}C_{u}+\frac{u-r}{u-d}C_{d}\right)\\ & =\frac{1}{r}\left(p_{u}C_{u}+p_{d}C_{d}\right) \end{align*} となり、\(P\left(0\right)\)がコールオプションの価格\(C\left(0\right)\)になる。
ここで、
\[ p_{u}=\frac{r-d}{u-d} \] \[ p_{d}=\frac{u-r}{u-d} \] とおいた。
無裁定な条件では\(d<r<u\)または\(u<r<d\)であるので、\(0<p_{u}<1,0<p_{d}<1\)となり、\(p_{u}+p_{d}=1\)を満たす。

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\(r\leq d\leq u\)または\(r\leq u\leq d\)のときは安全資産を借りて株を買えばいい。
\(d\leq u\leq r\)または\(u\leq d\leq r\)のときは、株を空売りして安全資産を買えばいい。
\(u=d\)のとき、\(u=d>K/S\)とすると、\(t=1\)での株の価格は\(Su>K\)となるので、コールオプションの権利を行使するので\(Su-K\)の利益になる。
これを時刻\(t=0\)の価格に直すと、\(\left(Su-K\right)/r\)となるのでこれがコールオプションの価格\(C\)になる。
\(u=d\text{のとき、}u=d<K/S\)とすると、\(t=1\)での株の価格は\(Su<K\)となるので、コールオプションの権利を行使しない。

(2)

\begin{align*} E\left[S\left(1\right)\right] & =SuP_{u}+SdP_{d}\\ & =S\left(uP_{u}+dP_{d}\right)\\ & =S\left(u\frac{r-d}{u-d}+d\frac{u-r}{u-d}\right)\\ & =\frac{S}{u-d}\left(u\left(r-d\right)+d\left(u-r\right)\right)\\ & =\frac{S}{u-d}\left(ur-dr\right)\\ & =rS \end{align*} \begin{align*} E\left[S^{2}\left(1\right)\right] & =\left(Su\right)^{2}P_{u}+\left(Sd\right)^{2}P_{d}\\ & =S^{2}\left(u^{2}P_{u}+d^{2}P_{d}\right)\\ & =S^{2}\left(u^{2}\frac{r-d}{u-d}+d^{2}\frac{u-r}{u-d}\right)\\ & =\frac{S^{2}}{u-d}\left(u^{2}\left(r-d\right)+d^{2}\left(u-r\right)\right)\\ & =\frac{S^{2}}{u-d}\left(r\left(u^{2}-d^{2}\right)-ud\left(u-d\right)\right)\\ & =S^{2}\left(r\left(u+d\right)-ud\right) \end{align*} \begin{align*} V\left[S\left(1\right)\right] & =E\left[S^{2}\left(1\right)\right]-E^{2}\left[S\left(1\right)\right]\\ & =S^{2}\left(r\left(u+d\right)-ud\right)-\left(rS\right)^{2}\\ & =S^{2}\left(r\left(u+d\right)-ud\right)-\left(rS\right)^{2}\\ & =S^{2}\left(-r^{2}+r\left(u+d\right)-ud\right)\\ & =S\left(u-r\right)\left(r-d\right) \end{align*} \begin{align*} E\left[C\left(1\right)\right] & =C_{u}p_{u}+C_{d}p_{d}\\ & =r\frac{1}{r}\left(p_{u}C_{u}+p_{d}C_{d}\right)\\ & =rC\left(0\right) \end{align*} \begin{align*} E\left[C^{2}\left(1\right)\right] & =C_{u}^{2}p_{u}+C_{d}^{2}p_{d} \end{align*} \begin{align*} V\left[C\left(1\right)\right] & =E\left[C^{2}\left(1\right)\right]-E^{2}\left[C\left(1\right)\right]\\ & =C_{u}^{2}p_{u}+C_{d}^{2}p_{d}-\left(C_{u}p_{u}+C_{d}p_{d}\right)^{2}\\ & =C_{u}^{2}p_{u}+C_{d}^{2}p_{d}-\left(C_{u}^{2}p_{u}^{2}+C_{d}^{2}p_{d}^{2}+2C_{u}C_{d}p_{u}p_{d}\right)\\ & =C_{u}^{2}p_{u}\left(1-p_{u}\right)+C_{d}^{2}p_{d}\left(1-p_{d}\right)-2C_{u}C_{d}p_{u}p_{d}\\ & =C_{u}^{2}p_{u}p_{d}+C_{d}^{2}p_{d}p_{u}-2C_{u}C_{d}p_{u}p_{d}\cmt{\because p_{u}+p_{d}=1}\\ & =\left(C_{u}^{2}+C_{d}^{2}-2C_{u}C_{d}\right)p_{u}p_{d}\\ & =\left(C_{u}-C_{d}\right)^{2}p_{u}p_{d} \end{align*}