(1)

\(k\)年後に配当を\(a\)円貰えるのでそれを現在価値に直すと
\[ \frac{a}{\left(1+r\right)^{k}} \] となるので\(k\)について1から無限まで和をとったものが理論株価であるので、
\begin{align*} P & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{\left(1+r\right)^{k}}\\ & =a\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{k}\\ & =\frac{1}{1+r}\cdot\frac{a}{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)}\cmt{\because\left|1-r\right|<1}\\ & =\frac{1}{1+r}\cdot\frac{a\left(1+r\right)}{r}\\ & =\frac{a}{r} \end{align*} となる。

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株を\(n\)年後に現在の理論株価\(P\)で売却したとしても同じ結果になる。
\begin{align*} P & =\sum_{k=1}^{n}\frac{a}{\left(1+r\right)^{k}}+\frac{P}{\left(1+r\right)^{n}}\\ & =a\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{k}+\frac{P}{\left(1+r\right)^{n}}\\ & =\frac{\left(1+r\right)^{n}}{\left(1+r\right)^{n}+1}a\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{k}\\ & =\frac{\left(1+r\right)^{n}}{\left(1+r\right)^{n}+1}\cdot a\cdot\frac{1}{1+r}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)^{n}}{1-\frac{1}{1+r}}\\ & =\frac{\left(1+r\right)^{n}}{\left(1+r\right)^{n}-1}\cdot a\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)^{n}}{1+r-1}\\ & =a\cdot\frac{1}{1+r-1}\\ & =\frac{a}{r} \end{align*}

(2)

\begin{align*} P & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a\left(1+g\right)^{k-1}}{\left(1+r\right)^{k}}\\ & =\frac{a}{1+g}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{k}\\ & =\frac{a}{1+g}\cdot\frac{1+g}{1+r}\cdot\frac{1}{1-\frac{1+g}{1+r}}\cmt{0\leq g<r\rightarrow\left|\frac{1+g}{1+r}\right|<1}\\ & =\frac{a}{1+g}\cdot\frac{1+g}{1+r}\cdot\frac{1+r}{1+r-\left(1+g\right)}\\ & =\frac{a}{r-g} \end{align*}