上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\),\(\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があり、\(\forall n\in\mathbb{N},0\leq a_{n},0\leq b_{n}\)とする。
\[ \max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]
\[ \min_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \]
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\),\(\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があり、\(\forall n\in\mathbb{N},0\leq a_{n},0\leq b_{n}\)とする。
(1)上限
\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \](2)下限
\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \](3)最大元
\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)が存在するとする。\[ \max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]
(4)最小元
\(\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n},\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)が存在するとする。\[ \min_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \]
(5)上極限
\[ \limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\limsup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\limsup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \](6)下極限
\[ \liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\liminf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq\liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \](1)で等号が成り立たない例
\(a_{n}=\delta_{1,n},b_{n}=\delta_{2,n}\)とすると\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=1,\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=1,\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{2,n}\right)=0\)となるので、等号が成り立たない。
例えば(1)は、\(a_{n}=b_{n}=-\delta_{1,n}\)とすると左辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{1,n}\right)=1\)となり、右辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)=0\)となり\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)>\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となるからである。
(2)は\(a_{n}=b_{n}=-\delta_{1,n}\)とすると左辺は\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1\)となり右辺は\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{1,n}\right)=0\)となり\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}>\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)となるからである。
例えば
\[ a_{n}=\begin{cases} 1 & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] \[ b_{n}=\begin{cases} 0 & n=1\\ 1 & n=2\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq3 \end{cases} \] とすると、
\[ a_{n}b_{n}=\begin{cases} 0 & n=1\\ \frac{1}{2} & n=2\\ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} & n\geq3 \end{cases} \] となるので、\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=1,\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=1\)であるが\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)は存在しない。
例えば
\[ a_{n}=\begin{cases} 2 & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] \[ b_{n}=\begin{cases} \frac{1}{2} & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] とすると、
\[ a_{n}+b_{n}=\begin{cases} 1 & n=1\\ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} & n\geq2 \end{cases} \] となるので\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=2,\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=1\)であるが\(\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)は存在しない。
\(a_{n}=\delta_{1,n},b_{n}=\delta_{2,n}\)とすると\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=1,\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=1,\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{2,n}\right)=0\)となるので、等号が成り立たない。
-
\(\forall n\in\mathbb{N},0\leq a_{n},0\leq b_{n}\)の条件がないと成り立たない。例えば(1)は、\(a_{n}=b_{n}=-\delta_{1,n}\)とすると左辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{1,n}\right)=1\)となり、右辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)=0\)となり\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)>\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となるからである。
(2)は\(a_{n}=b_{n}=-\delta_{1,n}\)とすると左辺は\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1\)となり右辺は\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{1,n}\right)=0\)となり\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}>\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)となるからである。
-
\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)が存在しても\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)が存在するとは限らない。例えば
\[ a_{n}=\begin{cases} 1 & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] \[ b_{n}=\begin{cases} 0 & n=1\\ 1 & n=2\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq3 \end{cases} \] とすると、
\[ a_{n}b_{n}=\begin{cases} 0 & n=1\\ \frac{1}{2} & n=2\\ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} & n\geq3 \end{cases} \] となるので、\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=1,\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=1\)であるが\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)は存在しない。
-
\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+b_{n}\)が存在しても\(\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)が存在するとは限らない。例えば
\[ a_{n}=\begin{cases} 2 & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] \[ b_{n}=\begin{cases} \frac{1}{2} & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] とすると、
\[ a_{n}+b_{n}=\begin{cases} 1 & n=1\\ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} & n\geq2 \end{cases} \] となるので\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=2,\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=1\)であるが\(\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)は存在しない。
(1)
任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(0\leq a_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n},0\leq b_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。これより、
\[ a_{k}b_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \] となるので、
\begin{align*} \sup_{k\in\mathbb{N}}\left(a_{k}b_{k}\right) & \leq\sup_{k\in\mathbb{N}}\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\\ & =\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。
(2)
任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(0\leq\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\leq a_{k},0\leq\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq b_{k}\)となる。ここから(1)と同様にすればいい。
(3)
任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(0\leq a_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},0\leq b_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。これより、
\[ a_{k}b_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \] となるので、
\begin{align*} \sup_{k\in\mathbb{N}}\left(a_{k}b_{k}\right) & \leq\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\\ & =\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。
(4)
任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(0\leq\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\leq a_{k},0\leq\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq b_{k}\)となる。ここから(3)と同様にすればいい。
(5)
(1)より、\begin{align*} \limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(a_{k}b_{k}\right)\\ & \leq\lim_{n\in\mathbb{N}}\left(\sup_{k\geq n}a_{k}\sup_{k\geq n}b_{k}\right)\\ & =\limsup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\limsup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(6)
(2)より、\begin{align*} \liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(a_{k}b_{k}\right)\\ & \geq\lim_{n\in\mathbb{N}}\left(\inf_{k\geq n}a_{k}\inf_{k\geq n}b_{k}\right)\\ & =\liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\liminf_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積 |
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極限と上極限・下極限との関係
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)
\]
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[
\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0
\]
実数列の上極限と下極限の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]